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Theorem meetlem 14409
Description: Lemma for meet properties. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
meetval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
meetval2.s  |-  .<_  =  ( le `  K )
meetval2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
meetlem  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  .<_  X  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  ( X  ./\  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, K    z,  .<_   
z, X    z, Y    z, 
./\

Proof of Theorem meetlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meetval2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 meetval2.s . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 meetval2.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
41, 2, 3meetval2 14408 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( iota_ x  e.  B ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) ) )
54eleq1d 2470 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  <->  ( iota_ x  e.  B ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) )  e.  B ) )
6 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  e.  _V
71, 6eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
87riotaclb 6549 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  B  ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) )  <-> 
( iota_ x  e.  B
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )  e.  B )
9 riotasbc 6524 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  B  ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) )  ->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( x 
.<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )  /  x ]. (
( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) )
108, 9sylbir 205 . . . . 5  |-  ( (
iota_ x  e.  B
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )  e.  B  ->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) )  /  x ]. ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )
115, 10syl6bi 220 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  ->  [. ( iota_ x  e.  B
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )  /  x ]. (
( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) ) )
12 dfsbcq 3123 . . . . 5  |-  ( ( X  ./\  Y )  =  ( iota_ x  e.  B ( ( x 
.<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )  ->  ( [. ( X  ./\  Y )  /  x ]. ( ( x 
.<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) )  <->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) )  /  x ]. ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) ) )
134, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( [. ( X 
./\  Y )  /  x ]. ( ( x 
.<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) )  <->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) )  /  x ]. ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) ) )
1411, 13sylibrd 226 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  ->  [. ( X  ./\  Y
)  /  x ]. ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) ) )
15 ovex 6065 . . . 4  |-  ( X 
./\  Y )  e. 
_V
16 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( x  .<_  X  <->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
)
17 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( x  .<_  Y  <->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
)
1816, 17anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( (
x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  <->  ( ( X  ./\  Y )  .<_  X  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
) )
19 breq2 4176 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( z  .<_  x  <->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) )
2019imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x )  <->  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X  ./\  Y
) ) ) )
2120ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X  ./\  Y
) ) ) )
2218, 21anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( (
( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) )  <-> 
( ( ( X 
./\  Y )  .<_  X  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
2315, 22sbcie 3155 . . 3  |-  ( [. ( X  ./\  Y )  /  x ]. (
( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) )  <-> 
( ( ( X 
./\  Y )  .<_  X  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) )
2414, 23syl6ib 218 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  -> 
( ( ( X 
./\  Y )  .<_  X  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
2524imp 419 1  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  .<_  X  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  ( X  ./\  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E!wreu 2668   _Vcvv 2916   [.wsbc 3121   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   Basecbs 13424   lecple 13491   meetcmee 14357
This theorem is referenced by:  lemeet1  14410  lemeet2  14411  meetle  14412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-glb 14387  df-meet 14389
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