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Theorem meetval2 14453
Description: Value of meet for a poset with GLB expanded. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
meetval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
meetval2.s  |-  .<_  =  ( le `  K )
meetval2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
meetval2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( iota_ x  e.  B ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, A    x, B, z    x, K, z    x,  .<_ , z    x, X, z    x, Y, z
Allowed substitution hints:    ./\ ( x, z)

Proof of Theorem meetval2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meetval2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2436 . . 3  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
3 meetval2.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
41, 2, 3meetval 14452 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( ( glb `  K ) `
 { X ,  Y } ) )
5 prssi 3954 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { X ,  Y }  C_  B )
6 meetval2.s . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
71, 6, 2glbval 14441 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  { X ,  Y }  C_  B )  ->  (
( glb `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e. 
{ X ,  Y } x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
85, 7sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( glb `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e. 
{ X ,  Y } x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
9 breq2 4216 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
x  .<_  y  <->  x  .<_  X ) )
10 breq2 4216 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
x  .<_  y  <->  x  .<_  Y ) )
119, 10ralprg 3857 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. y  e. 
{ X ,  Y } x  .<_  y  <->  ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y ) ) )
12 breq2 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
z  .<_  y  <->  z  .<_  X ) )
13 breq2 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
z  .<_  y  <->  z  .<_  Y ) )
1412, 13ralprg 3857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. y  e. 
{ X ,  Y } z  .<_  y  <->  ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y ) ) )
1514imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  { X ,  Y } z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )
1615ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )
1711, 16anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  { X ,  Y } x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( (
x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) ) )
1817riotabidv 6551 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e. 
{ X ,  Y } x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( ( x 
.<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) ) )
1918adantl 453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  { X ,  Y }
x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  (
iota_ x  e.  B
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) ) )
208, 19eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( glb `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) ) )
21203impb 1149 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( glb `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) ) )
224, 21eqtrd 2468 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( iota_ x  e.  B ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    C_ wss 3320   {cpr 3815   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   iota_crio 6542   Basecbs 13469   lecple 13536   glbcglb 14400   meetcmee 14402
This theorem is referenced by:  meetlem  14454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-glb 14432  df-meet 14434
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