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Theorem mendassa 27470
Description: The module endomorphism algebra is an algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendassa.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendassa.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
Assertion
Ref Expression
mendassa  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e. AssAlg )

Proof of Theorem mendassa
Dummy variables  x  y  z  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
21mendbas 27460 . . 3  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( M LMHom  M )  =  (
Base `  A )
)
4 mendassa.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  M )
51, 4mendsca 27465 . . 3  |-  S  =  (Scalar `  A )
65a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  =  (Scalar `  A )
)
7 eqidd 2436 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( Base `  S )  =  ( Base `  S
) )
8 eqidd 2436 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .s `  A )  =  ( .s `  A
) )
9 eqidd 2436 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .r `  A )  =  ( .r `  A
) )
101, 4mendlmod 27469 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  LMod )
111mendrng 27468 . . 3  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )
1211adantr 452 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  Ring )
13 simpr 448 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  e.  CRing )
14 simpr3 965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
15 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
1615, 15lmhmf 16102 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( M LMHom  M
)  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
1714, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
1817ffvelrnda 5862 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( z `  v
)  e.  ( Base `  M ) )
1917feqmptd 5771 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( z `  v ) ) )
20 simpr1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
21 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( M LMHom  M ) )
22 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
23 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
24 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
251, 22, 2, 4, 23, 15, 24mendvsca 27467 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) y ) )
2620, 21, 25syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) y ) )
27 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
29 simplr1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
30 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( y `
 w )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  w
)  e.  _V )
32 fconstmpt 4913 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
3415, 15lmhmf 16102 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( M LMHom  M
)  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3521, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
3635feqmptd 5771 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  w ) ) )
3728, 29, 31, 33, 36offval2 6314 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y )  =  ( w  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y `  w ) ) ) )
3826, 37eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  w
) ) ) )
39 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( z `  v )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( z `  v
) ) )
4039oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( w  =  ( z `  v )  ->  (
x ( .s `  M ) ( y `
 w ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) )
4118, 19, 38, 40fmptco 5893 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) ) )
42 simplr1 999 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
43 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( y `
 ( z `  v ) )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  (
z `  v )
)  e.  _V )
45 fconstmpt 4913 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
47 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
481, 2, 47mendmulr 27464 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .r `  A
) z )  =  ( y  o.  z
) )
4921, 14, 48syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  =  ( y  o.  z ) )
50 fcompt 5896 . . . . . . 7  |-  ( ( y : ( Base `  M ) --> ( Base `  M )  /\  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )  ->  (
y  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5135, 17, 50syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5249, 51eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5328, 42, 44, 46, 52offval2 6314 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( v  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y `  ( z `
 v ) ) ) ) )
5441, 53eqtr4d 2470 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  o.  z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
5510adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  LMod )
562, 5, 24, 23lmodvscl 15959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
5755, 20, 21, 56syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M
) )
581, 2, 47mendmulr 27464 . . . 4  |-  ( ( ( x ( .s
`  A ) y )  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
x ( .s `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x ( .s `  A ) y )  o.  z
) )
5957, 14, 58syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( ( x ( .s `  A
) y )  o.  z ) )
6012adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  Ring )
612, 47rngcl 15669 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
6260, 21, 14, 61syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
631, 22, 2, 4, 23, 15, 24mendvsca 27467 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  (
y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .r `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
6420, 62, 63syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .r `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
6554, 59, 643eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .r
`  A ) z ) ) )
66 simplr2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
y  e.  ( M LMHom 
M ) )
674, 23, 15, 22, 22lmhmlin 16103 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  v )  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y `
 ( z `  v ) ) ) )
6866, 42, 18, 67syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  (
x ( .s `  M ) ( z `
 v ) ) )  =  ( x ( .s `  M
) ( y `  ( z `  v
) ) ) )
6968mpteq2dva 4287 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
v  e.  ( Base `  M )  |->  ( y `
 ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) ) )
70 simplll 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  ->  M  e.  LMod )
7115, 4, 22, 23lmodvscl 15959 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  v )  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( x
( .s `  M
) ( z `  v ) )  e.  ( Base `  M
) )
7270, 42, 18, 71syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) )  e.  ( Base `  M ) )
731, 22, 2, 4, 23, 15, 24mendvsca 27467 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) z ) )
7420, 14, 73syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) z ) )
75 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( z `
 v )  e. 
_V
7675a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( z `  v
)  e.  _V )
7728, 42, 76, 46, 19offval2 6314 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) z )  =  ( v  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) )
7874, 77eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) ) ) )
79 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) )
8072, 78, 36, 79fmptco 5893 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) ) )
8169, 80, 533eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
822, 5, 24, 23lmodvscl 15959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
8355, 20, 14, 82syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
841, 2, 47mendmulr 27464 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( y  o.  ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
8521, 83, 84syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( y  o.  ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
8681, 85, 643eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .r
`  A ) z ) ) )
873, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 65, 86isassad 16374 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e. AssAlg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806    e. cmpt 4258    X. cxp 4868    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   Basecbs 13461   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   LModclmod 15942   LMHom clmhm 16087  AssAlgcasa 16361  MEndocmend 27457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-ghm 14996  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lmhm 16090  df-assa 16364  df-mend 27458
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