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Theorem mendassa 27502
Description: The module endomorphism algebra is an algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendassa.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendassa.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
Assertion
Ref Expression
mendassa  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e. AssAlg )

Proof of Theorem mendassa
Dummy variables  x  y  z  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
21mendbas 27492 . . 3  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
32a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( M LMHom  M )  =  (
Base `  A )
)
4 mendassa.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  M )
51, 4mendsca 27497 . . 3  |-  S  =  (Scalar `  A )
65a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  =  (Scalar `  A )
)
7 eqidd 2284 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( Base `  S )  =  ( Base `  S
) )
8 eqidd 2284 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .s `  A )  =  ( .s `  A
) )
9 eqidd 2284 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .r `  A )  =  ( .r `  A
) )
101, 4mendlmod 27501 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  LMod )
111mendrng 27500 . . 3  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )
1211adantr 451 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  Ring )
13 simpr 447 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  e.  CRing )
14 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
15 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
1615, 15lmhmf 15791 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( M LMHom  M
)  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
1714, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
18 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( z : ( Base `  M ) --> ( Base `  M )  /\  v  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
z `  v )  e.  ( Base `  M
) )
1917, 18sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( z `  v
)  e.  ( Base `  M ) )
2017feqmptd 5575 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( z `  v ) ) )
21 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
22 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( M LMHom  M ) )
23 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
24 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
25 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
261, 23, 2, 4, 24, 15, 25mendvsca 27499 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) y ) )
2721, 22, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) y ) )
28 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  e.  _V
2928a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
30 simplr1 997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
31 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( y `
 w )  e. 
_V
3231a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  w
)  e.  _V )
33 fconstmpt 4732 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
3433a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
3515, 15lmhmf 15791 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( M LMHom  M
)  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3622, 35syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
3736feqmptd 5575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  w ) ) )
3829, 30, 32, 34, 37offval2 6095 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y )  =  ( w  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y `  w ) ) ) )
3927, 38eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  w
) ) ) )
40 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( z `  v )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( z `  v
) ) )
4140oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( w  =  ( z `  v )  ->  (
x ( .s `  M ) ( y `
 w ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) )
4219, 20, 39, 41fmptco 5691 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) ) )
43 simplr1 997 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
44 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( y `
 ( z `  v ) )  e. 
_V
4544a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  (
z `  v )
)  e.  _V )
46 fconstmpt 4732 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
4746a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
48 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
491, 2, 48mendmulr 27496 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .r `  A
) z )  =  ( y  o.  z
) )
5022, 14, 49syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  =  ( y  o.  z ) )
51 fcompt 5694 . . . . . . 7  |-  ( ( y : ( Base `  M ) --> ( Base `  M )  /\  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )  ->  (
y  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5236, 17, 51syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5350, 52eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5429, 43, 45, 47, 53offval2 6095 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( v  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y `  ( z `
 v ) ) ) ) )
5542, 54eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  o.  z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
5610adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  LMod )
572, 5, 25, 24lmodvscl 15644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
5856, 21, 22, 57syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M
) )
591, 2, 48mendmulr 27496 . . . 4  |-  ( ( ( x ( .s
`  A ) y )  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
x ( .s `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x ( .s `  A ) y )  o.  z
) )
6058, 14, 59syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( ( x ( .s `  A
) y )  o.  z ) )
6112adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  Ring )
622, 48rngcl 15354 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
6361, 22, 14, 62syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
641, 23, 2, 4, 24, 15, 25mendvsca 27499 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  (
y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .r `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
6521, 63, 64syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .r `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
6655, 60, 653eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .r
`  A ) z ) ) )
67 simplr2 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
y  e.  ( M LMHom 
M ) )
684, 24, 15, 23, 23lmhmlin 15792 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  v )  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y `
 ( z `  v ) ) ) )
6967, 43, 19, 68syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  (
x ( .s `  M ) ( z `
 v ) ) )  =  ( x ( .s `  M
) ( y `  ( z `  v
) ) ) )
7069mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
v  e.  ( Base `  M )  |->  ( y `
 ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) ) )
71 simplll 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  ->  M  e.  LMod )
7215, 4, 23, 24lmodvscl 15644 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  v )  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( x
( .s `  M
) ( z `  v ) )  e.  ( Base `  M
) )
7371, 43, 19, 72syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) )  e.  ( Base `  M ) )
741, 23, 2, 4, 24, 15, 25mendvsca 27499 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) z ) )
7521, 14, 74syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) z ) )
76 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( z `
 v )  e. 
_V
7776a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( z `  v
)  e.  _V )
7829, 43, 77, 47, 20offval2 6095 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) z )  =  ( v  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) )
7975, 78eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) ) ) )
80 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) )
8173, 79, 37, 80fmptco 5691 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) ) )
8270, 81, 543eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
832, 5, 25, 24lmodvscl 15644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
8456, 21, 14, 83syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
851, 2, 48mendmulr 27496 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( y  o.  ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
8622, 84, 85syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( y  o.  ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
8782, 86, 653eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .r
`  A ) z ) ) )
883, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 66, 87isassad 16063 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e. AssAlg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   Basecbs 13148   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   LModclmod 15627   LMHom clmhm 15776  AssAlgcasa 16050  MEndocmend 27489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-assa 16053  df-mend 27490
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