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Theorem mendassa 27605
Description: The module endomorphism algebra is an algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendassa.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendassa.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
Assertion
Ref Expression
mendassa  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e. AssAlg )

Proof of Theorem mendassa
Dummy variables  x  y  z  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
21mendbas 27595 . . 3  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
32a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( M LMHom  M )  =  (
Base `  A )
)
4 mendassa.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  M )
51, 4mendsca 27600 . . 3  |-  S  =  (Scalar `  A )
65a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  =  (Scalar `  A )
)
7 eqidd 2297 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( Base `  S )  =  ( Base `  S
) )
8 eqidd 2297 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .s `  A )  =  ( .s `  A
) )
9 eqidd 2297 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .r `  A )  =  ( .r `  A
) )
101, 4mendlmod 27604 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  LMod )
111mendrng 27603 . . 3  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )
1211adantr 451 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  Ring )
13 simpr 447 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  e.  CRing )
14 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
15 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
1615, 15lmhmf 15807 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( M LMHom  M
)  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
1714, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
18 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( z : ( Base `  M ) --> ( Base `  M )  /\  v  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
z `  v )  e.  ( Base `  M
) )
1917, 18sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( z `  v
)  e.  ( Base `  M ) )
2017feqmptd 5591 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( z `  v ) ) )
21 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
22 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( M LMHom  M ) )
23 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
24 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
25 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
261, 23, 2, 4, 24, 15, 25mendvsca 27602 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) y ) )
2721, 22, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) y ) )
28 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  e.  _V
2928a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
30 simplr1 997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
31 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( y `
 w )  e. 
_V
3231a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  w
)  e.  _V )
33 fconstmpt 4748 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
3433a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
3515, 15lmhmf 15807 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( M LMHom  M
)  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3622, 35syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
3736feqmptd 5591 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  w ) ) )
3829, 30, 32, 34, 37offval2 6111 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y )  =  ( w  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y `  w ) ) ) )
3927, 38eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  w
) ) ) )
40 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( z `  v )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( z `  v
) ) )
4140oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( w  =  ( z `  v )  ->  (
x ( .s `  M ) ( y `
 w ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) )
4219, 20, 39, 41fmptco 5707 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) ) )
43 simplr1 997 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
44 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( y `
 ( z `  v ) )  e. 
_V
4544a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  (
z `  v )
)  e.  _V )
46 fconstmpt 4748 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
4746a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
48 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
491, 2, 48mendmulr 27599 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .r `  A
) z )  =  ( y  o.  z
) )
5022, 14, 49syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  =  ( y  o.  z ) )
51 fcompt 5710 . . . . . . 7  |-  ( ( y : ( Base `  M ) --> ( Base `  M )  /\  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )  ->  (
y  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5236, 17, 51syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5350, 52eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5429, 43, 45, 47, 53offval2 6111 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( v  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y `  ( z `
 v ) ) ) ) )
5542, 54eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  o.  z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
5610adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  LMod )
572, 5, 25, 24lmodvscl 15660 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
5856, 21, 22, 57syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M
) )
591, 2, 48mendmulr 27599 . . . 4  |-  ( ( ( x ( .s
`  A ) y )  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
x ( .s `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x ( .s `  A ) y )  o.  z
) )
6058, 14, 59syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( ( x ( .s `  A
) y )  o.  z ) )
6112adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  Ring )
622, 48rngcl 15370 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
6361, 22, 14, 62syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
641, 23, 2, 4, 24, 15, 25mendvsca 27602 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  (
y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .r `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
6521, 63, 64syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .r `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
6655, 60, 653eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .r
`  A ) z ) ) )
67 simplr2 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
y  e.  ( M LMHom 
M ) )
684, 24, 15, 23, 23lmhmlin 15808 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  v )  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y `
 ( z `  v ) ) ) )
6967, 43, 19, 68syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  (
x ( .s `  M ) ( z `
 v ) ) )  =  ( x ( .s `  M
) ( y `  ( z `  v
) ) ) )
7069mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
v  e.  ( Base `  M )  |->  ( y `
 ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) ) )
71 simplll 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  ->  M  e.  LMod )
7215, 4, 23, 24lmodvscl 15660 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  v )  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( x
( .s `  M
) ( z `  v ) )  e.  ( Base `  M
) )
7371, 43, 19, 72syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) )  e.  ( Base `  M ) )
741, 23, 2, 4, 24, 15, 25mendvsca 27602 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) z ) )
7521, 14, 74syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) z ) )
76 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( z `
 v )  e. 
_V
7776a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( z `  v
)  e.  _V )
7829, 43, 77, 47, 20offval2 6111 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) z )  =  ( v  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) )
7975, 78eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) ) ) )
80 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) )
8173, 79, 37, 80fmptco 5707 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) ) )
8270, 81, 543eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
832, 5, 25, 24lmodvscl 15660 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
8456, 21, 14, 83syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
851, 2, 48mendmulr 27599 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( y  o.  ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
8622, 84, 85syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( y  o.  ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
8782, 86, 653eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .r
`  A ) z ) ) )
883, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 66, 87isassad 16079 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e. AssAlg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   Basecbs 13164   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   LModclmod 15643   LMHom clmhm 15792  AssAlgcasa 16066  MEndocmend 27592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lmhm 15795  df-assa 16069  df-mend 27593
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