Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendassa Structured version   Unicode version

Theorem mendassa 27470
 Description: The module endomorphism algebra is an algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendassa.a MEndo
mendassa.s Scalar
Assertion
Ref Expression
mendassa AssAlg

Proof of Theorem mendassa
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4 MEndo
21mendbas 27460 . . 3 LMHom
32a1i 11 . 2 LMHom
4 mendassa.s . . . 4 Scalar
51, 4mendsca 27465 . . 3 Scalar
65a1i 11 . 2 Scalar
7 eqidd 2436 . 2
8 eqidd 2436 . 2
9 eqidd 2436 . 2
101, 4mendlmod 27469 . 2
111mendrng 27468 . . 3
13 simpr 448 . 2
14 simpr3 965 . . . . . . 7 LMHom LMHom LMHom
15 eqid 2435 . . . . . . . 8
1615, 15lmhmf 16102 . . . . . . 7 LMHom
1714, 16syl 16 . . . . . 6 LMHom LMHom
1817ffvelrnda 5862 . . . . 5 LMHom LMHom
1917feqmptd 5771 . . . . 5 LMHom LMHom
20 simpr1 963 . . . . . . 7 LMHom LMHom
21 simpr2 964 . . . . . . 7 LMHom LMHom LMHom
22 eqid 2435 . . . . . . . 8
23 eqid 2435 . . . . . . . 8
24 eqid 2435 . . . . . . . 8
251, 22, 2, 4, 23, 15, 24mendvsca 27467 . . . . . . 7 LMHom
2620, 21, 25syl2anc 643 . . . . . 6 LMHom LMHom
27 fvex 5734 . . . . . . . 8
2827a1i 11 . . . . . . 7 LMHom LMHom
29 simplr1 999 . . . . . . 7 LMHom LMHom
30 fvex 5734 . . . . . . . 8
3130a1i 11 . . . . . . 7 LMHom LMHom
32 fconstmpt 4913 . . . . . . . 8
3332a1i 11 . . . . . . 7 LMHom LMHom
3415, 15lmhmf 16102 . . . . . . . . 9 LMHom
3521, 34syl 16 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
3635feqmptd 5771 . . . . . . 7 LMHom LMHom
3728, 29, 31, 33, 36offval2 6314 . . . . . 6 LMHom LMHom
3826, 37eqtrd 2467 . . . . 5 LMHom LMHom
39 fveq2 5720 . . . . . 6
4039oveq2d 6089 . . . . 5
4118, 19, 38, 40fmptco 5893 . . . 4 LMHom LMHom
42 simplr1 999 . . . . 5 LMHom LMHom
43 fvex 5734 . . . . . 6
4443a1i 11 . . . . 5 LMHom LMHom
45 fconstmpt 4913 . . . . . 6
4645a1i 11 . . . . 5 LMHom LMHom
47 eqid 2435 . . . . . . . 8
481, 2, 47mendmulr 27464 . . . . . . 7 LMHom LMHom
4921, 14, 48syl2anc 643 . . . . . 6 LMHom LMHom
50 fcompt 5896 . . . . . . 7
5135, 17, 50syl2anc 643 . . . . . 6 LMHom LMHom
5249, 51eqtrd 2467 . . . . 5 LMHom LMHom
5328, 42, 44, 46, 52offval2 6314 . . . 4 LMHom LMHom
5441, 53eqtr4d 2470 . . 3 LMHom LMHom
5510adantr 452 . . . . 5 LMHom LMHom
562, 5, 24, 23lmodvscl 15959 . . . . 5 LMHom LMHom
5755, 20, 21, 56syl3anc 1184 . . . 4 LMHom LMHom LMHom
581, 2, 47mendmulr 27464 . . . 4 LMHom LMHom
5957, 14, 58syl2anc 643 . . 3 LMHom LMHom
6012adantr 452 . . . . 5 LMHom LMHom
612, 47rngcl 15669 . . . . 5 LMHom LMHom LMHom
6260, 21, 14, 61syl3anc 1184 . . . 4 LMHom LMHom LMHom
631, 22, 2, 4, 23, 15, 24mendvsca 27467 . . . 4 LMHom
6420, 62, 63syl2anc 643 . . 3 LMHom LMHom
6554, 59, 643eqtr4d 2477 . 2 LMHom LMHom
66 simplr2 1000 . . . . . 6 LMHom LMHom LMHom
674, 23, 15, 22, 22lmhmlin 16103 . . . . . 6 LMHom
6866, 42, 18, 67syl3anc 1184 . . . . 5 LMHom LMHom
6968mpteq2dva 4287 . . . 4 LMHom LMHom
70 simplll 735 . . . . . 6 LMHom LMHom
7115, 4, 22, 23lmodvscl 15959 . . . . . 6
7270, 42, 18, 71syl3anc 1184 . . . . 5 LMHom LMHom
731, 22, 2, 4, 23, 15, 24mendvsca 27467 . . . . . . 7 LMHom
7420, 14, 73syl2anc 643 . . . . . 6 LMHom LMHom
75 fvex 5734 . . . . . . . 8
7675a1i 11 . . . . . . 7 LMHom LMHom
7728, 42, 76, 46, 19offval2 6314 . . . . . 6 LMHom LMHom
7874, 77eqtrd 2467 . . . . 5 LMHom LMHom
79 fveq2 5720 . . . . 5
8072, 78, 36, 79fmptco 5893 . . . 4 LMHom LMHom
8169, 80, 533eqtr4d 2477 . . 3 LMHom LMHom
822, 5, 24, 23lmodvscl 15959 . . . . 5 LMHom LMHom
8355, 20, 14, 82syl3anc 1184 . . . 4 LMHom LMHom LMHom
841, 2, 47mendmulr 27464 . . . 4 LMHom LMHom
8521, 83, 84syl2anc 643 . . 3 LMHom LMHom
8681, 85, 643eqtr4d 2477 . 2 LMHom LMHom
873, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 65, 86isassad 16374 1 AssAlg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  csn 3806   cmpt 4258   cxp 4868   ccom 4874  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295  cbs 13461  cmulr 13522  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  crg 15652  ccrg 15653  clmod 15942   LMHom clmhm 16087  AssAlgcasa 16361  MEndocmend 27457 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-ghm 14996  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lmhm 16090  df-assa 16364  df-mend 27458
 Copyright terms: Public domain W3C validator