Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendassa Unicode version

Theorem mendassa 27605
 Description: The module endomorphism algebra is an algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendassa.a MEndo
mendassa.s Scalar
Assertion
Ref Expression
mendassa AssAlg

Proof of Theorem mendassa
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4 MEndo
21mendbas 27595 . . 3 LMHom
32a1i 10 . 2 LMHom
4 mendassa.s . . . 4 Scalar
51, 4mendsca 27600 . . 3 Scalar
65a1i 10 . 2 Scalar
7 eqidd 2297 . 2
8 eqidd 2297 . 2
9 eqidd 2297 . 2
101, 4mendlmod 27604 . 2
111mendrng 27603 . . 3
13 simpr 447 . 2
14 simpr3 963 . . . . . . 7 LMHom LMHom LMHom
15 eqid 2296 . . . . . . . 8
1615, 15lmhmf 15807 . . . . . . 7 LMHom
1714, 16syl 15 . . . . . 6 LMHom LMHom
18 ffvelrn 5679 . . . . . 6
1917, 18sylan 457 . . . . 5 LMHom LMHom
2017feqmptd 5591 . . . . 5 LMHom LMHom
21 simpr1 961 . . . . . . 7 LMHom LMHom
22 simpr2 962 . . . . . . 7 LMHom LMHom LMHom
23 eqid 2296 . . . . . . . 8
24 eqid 2296 . . . . . . . 8
25 eqid 2296 . . . . . . . 8
261, 23, 2, 4, 24, 15, 25mendvsca 27602 . . . . . . 7 LMHom
2721, 22, 26syl2anc 642 . . . . . 6 LMHom LMHom
28 fvex 5555 . . . . . . . 8
2928a1i 10 . . . . . . 7 LMHom LMHom
30 simplr1 997 . . . . . . 7 LMHom LMHom
31 fvex 5555 . . . . . . . 8
3231a1i 10 . . . . . . 7 LMHom LMHom
33 fconstmpt 4748 . . . . . . . 8
3433a1i 10 . . . . . . 7 LMHom LMHom
3515, 15lmhmf 15807 . . . . . . . . 9 LMHom
3622, 35syl 15 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
3736feqmptd 5591 . . . . . . 7 LMHom LMHom
3829, 30, 32, 34, 37offval2 6111 . . . . . 6 LMHom LMHom
3927, 38eqtrd 2328 . . . . 5 LMHom LMHom
40 fveq2 5541 . . . . . 6
4140oveq2d 5890 . . . . 5
4219, 20, 39, 41fmptco 5707 . . . 4 LMHom LMHom
43 simplr1 997 . . . . 5 LMHom LMHom
44 fvex 5555 . . . . . 6
4544a1i 10 . . . . 5 LMHom LMHom
46 fconstmpt 4748 . . . . . 6
4746a1i 10 . . . . 5 LMHom LMHom
48 eqid 2296 . . . . . . . 8
491, 2, 48mendmulr 27599 . . . . . . 7 LMHom LMHom
5022, 14, 49syl2anc 642 . . . . . 6 LMHom LMHom
51 fcompt 5710 . . . . . . 7
5236, 17, 51syl2anc 642 . . . . . 6 LMHom LMHom
5350, 52eqtrd 2328 . . . . 5 LMHom LMHom
5429, 43, 45, 47, 53offval2 6111 . . . 4 LMHom LMHom
5542, 54eqtr4d 2331 . . 3 LMHom LMHom
5610adantr 451 . . . . 5 LMHom LMHom
572, 5, 25, 24lmodvscl 15660 . . . . 5 LMHom LMHom
5856, 21, 22, 57syl3anc 1182 . . . 4 LMHom LMHom LMHom
591, 2, 48mendmulr 27599 . . . 4 LMHom LMHom
6058, 14, 59syl2anc 642 . . 3 LMHom LMHom
6112adantr 451 . . . . 5 LMHom LMHom
622, 48rngcl 15370 . . . . 5 LMHom LMHom LMHom
6361, 22, 14, 62syl3anc 1182 . . . 4 LMHom LMHom LMHom
641, 23, 2, 4, 24, 15, 25mendvsca 27602 . . . 4 LMHom
6521, 63, 64syl2anc 642 . . 3 LMHom LMHom
6655, 60, 653eqtr4d 2338 . 2 LMHom LMHom
67 simplr2 998 . . . . . 6 LMHom LMHom LMHom
684, 24, 15, 23, 23lmhmlin 15808 . . . . . 6 LMHom
6967, 43, 19, 68syl3anc 1182 . . . . 5 LMHom LMHom
7069mpteq2dva 4122 . . . 4 LMHom LMHom
71 simplll 734 . . . . . 6 LMHom LMHom
7215, 4, 23, 24lmodvscl 15660 . . . . . 6
7371, 43, 19, 72syl3anc 1182 . . . . 5 LMHom LMHom
741, 23, 2, 4, 24, 15, 25mendvsca 27602 . . . . . . 7 LMHom
7521, 14, 74syl2anc 642 . . . . . 6 LMHom LMHom
76 fvex 5555 . . . . . . . 8
7776a1i 10 . . . . . . 7 LMHom LMHom
7829, 43, 77, 47, 20offval2 6111 . . . . . 6 LMHom LMHom
7975, 78eqtrd 2328 . . . . 5 LMHom LMHom
80 fveq2 5541 . . . . 5
8173, 79, 37, 80fmptco 5707 . . . 4 LMHom LMHom
8270, 81, 543eqtr4d 2338 . . 3 LMHom LMHom
832, 5, 25, 24lmodvscl 15660 . . . . 5 LMHom LMHom
8456, 21, 14, 83syl3anc 1182 . . . 4 LMHom LMHom LMHom
851, 2, 48mendmulr 27599 . . . 4 LMHom LMHom
8622, 84, 85syl2anc 642 . . 3 LMHom LMHom
8782, 86, 653eqtr4d 2338 . 2 LMHom LMHom
883, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 66, 87isassad 16079 1 AssAlg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801  csn 3653   cmpt 4093   cxp 4703   ccom 4709  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cbs 13164  cmulr 13225  Scalarcsca 13227  cvsca 13228  crg 15353  ccrg 15354  clmod 15643   LMHom clmhm 15792  AssAlgcasa 16066  MEndocmend 27592 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lmhm 15795  df-assa 16069  df-mend 27593
 Copyright terms: Public domain W3C validator