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Theorem mendassa 27172
Description: The module endomorphism algebra is an algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendassa.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendassa.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
Assertion
Ref Expression
mendassa  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e. AssAlg )

Proof of Theorem mendassa
Dummy variables  x  y  z  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
21mendbas 27162 . . 3  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( M LMHom  M )  =  (
Base `  A )
)
4 mendassa.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  M )
51, 4mendsca 27167 . . 3  |-  S  =  (Scalar `  A )
65a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  =  (Scalar `  A )
)
7 eqidd 2389 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( Base `  S )  =  ( Base `  S
) )
8 eqidd 2389 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .s `  A )  =  ( .s `  A
) )
9 eqidd 2389 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .r `  A )  =  ( .r `  A
) )
101, 4mendlmod 27171 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  LMod )
111mendrng 27170 . . 3  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )
1211adantr 452 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  Ring )
13 simpr 448 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  e.  CRing )
14 simpr3 965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
15 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
1615, 15lmhmf 16038 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( M LMHom  M
)  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
1714, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
1817ffvelrnda 5810 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( z `  v
)  e.  ( Base `  M ) )
1917feqmptd 5719 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( z `  v ) ) )
20 simpr1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
21 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( M LMHom  M ) )
22 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
23 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
24 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
251, 22, 2, 4, 23, 15, 24mendvsca 27169 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) y ) )
2620, 21, 25syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) y ) )
27 fvex 5683 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
29 simplr1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
30 fvex 5683 . . . . . . . 8  |-  ( y `
 w )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  w  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  w
)  e.  _V )
32 fconstmpt 4862 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
3415, 15lmhmf 16038 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( M LMHom  M
)  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3521, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
3635feqmptd 5719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  w ) ) )
3728, 29, 31, 33, 36offval2 6262 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y )  =  ( w  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y `  w ) ) ) )
3826, 37eqtrd 2420 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( w  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  w
) ) ) )
39 fveq2 5669 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( z `  v )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( z `  v
) ) )
4039oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( w  =  ( z `  v )  ->  (
x ( .s `  M ) ( y `
 w ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) )
4118, 19, 38, 40fmptco 5841 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) ) )
42 simplr1 999 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
43 fvex 5683 . . . . . 6  |-  ( y `
 ( z `  v ) )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  (
z `  v )
)  e.  _V )
45 fconstmpt 4862 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
47 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
481, 2, 47mendmulr 27166 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .r `  A
) z )  =  ( y  o.  z
) )
4921, 14, 48syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  =  ( y  o.  z ) )
50 fcompt 5844 . . . . . . 7  |-  ( ( y : ( Base `  M ) --> ( Base `  M )  /\  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )  ->  (
y  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5135, 17, 50syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5249, 51eqtrd 2420 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( z `  v
) ) ) )
5328, 42, 44, 46, 52offval2 6262 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( v  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y `  ( z `
 v ) ) ) ) )
5441, 53eqtr4d 2423 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  o.  z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
5510adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  LMod )
562, 5, 24, 23lmodvscl 15895 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
5755, 20, 21, 56syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M
) )
581, 2, 47mendmulr 27166 . . . 4  |-  ( ( ( x ( .s
`  A ) y )  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
x ( .s `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x ( .s `  A ) y )  o.  z
) )
5957, 14, 58syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( ( x ( .s `  A
) y )  o.  z ) )
6012adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  Ring )
612, 47rngcl 15605 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
6260, 21, 14, 61syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
631, 22, 2, 4, 23, 15, 24mendvsca 27169 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  (
y ( .r `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .r `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
6420, 62, 63syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .r `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
6554, 59, 643eqtr4d 2430 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .r
`  A ) z ) ) )
66 simplr2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
y  e.  ( M LMHom 
M ) )
674, 23, 15, 22, 22lmhmlin 16039 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  v )  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y `
 ( z `  v ) ) ) )
6866, 42, 18, 67syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( y `  (
x ( .s `  M ) ( z `
 v ) ) )  =  ( x ( .s `  M
) ( y `  ( z `  v
) ) ) )
6968mpteq2dva 4237 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
v  e.  ( Base `  M )  |->  ( y `
 ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y `  (
z `  v )
) ) ) )
70 simplll 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  ->  M  e.  LMod )
7115, 4, 22, 23lmodvscl 15895 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  v )  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( x
( .s `  M
) ( z `  v ) )  e.  ( Base `  M
) )
7270, 42, 18, 71syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) )  e.  ( Base `  M ) )
731, 22, 2, 4, 23, 15, 24mendvsca 27169 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) z ) )
7420, 14, 73syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) z ) )
75 fvex 5683 . . . . . . . 8  |-  ( z `
 v )  e. 
_V
7675a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  v  e.  ( Base `  M ) )  -> 
( z `  v
)  e.  _V )
7728, 42, 76, 46, 19offval2 6262 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) z )  =  ( v  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) )
7874, 77eqtrd 2420 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) ) ) )
79 fveq2 5669 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x ( .s `  M ) ( z `  v
) )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) )
8072, 78, 36, 79fmptco 5841 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( v  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y `  ( x ( .s
`  M ) ( z `  v ) ) ) ) )
8169, 80, 533eqtr4d 2430 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y  o.  ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
822, 5, 24, 23lmodvscl 15895 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
8355, 20, 14, 82syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
841, 2, 47mendmulr 27166 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( y  o.  ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
8521, 83, 84syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( y  o.  ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
8681, 85, 643eqtr4d 2430 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .r `  A ) ( x ( .s `  A
) z ) )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .r
`  A ) z ) ) )
873, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 65, 86isassad 16310 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e. AssAlg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900   {csn 3758    e. cmpt 4208    X. cxp 4817    o. ccom 4823   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Fcof 6243   Basecbs 13397   .rcmulr 13458  Scalarcsca 13460   .scvsca 13461   Ringcrg 15588   CRingccrg 15589   LModclmod 15878   LMHom clmhm 16023  AssAlgcasa 16297  MEndocmend 27159
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-ghm 14932  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-lmod 15880  df-lmhm 16026  df-assa 16300  df-mend 27160
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