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Theorem mendlmod 27163
Description: The module endomorphism algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendassa.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendassa.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
Assertion
Ref Expression
mendlmod  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  LMod )

Proof of Theorem mendlmod
Dummy variables  x  y  z  u  k 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
21mendbas 27154 . . 3  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
32a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( M LMHom  M )  =  (
Base `  A )
)
4 eqidd 2381 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A
) )
5 mendassa.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  M )
61, 5mendsca 27159 . . 3  |-  S  =  (Scalar `  A )
76a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  =  (Scalar `  A )
)
8 eqidd 2381 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .s `  A )  =  ( .s `  A
) )
9 eqidd 2381 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( Base `  S )  =  ( Base `  S
) )
10 eqidd 2381 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S
) )
11 eqidd 2381 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  S
) )
12 eqidd 2381 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( 1r `  S )  =  ( 1r `  S
) )
13 crngrng 15594 . . 3  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
1413adantl 453 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  e.  Ring )
151mendrng 27162 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )
1615adantr 452 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  Ring )
17 rnggrp 15589 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. 
Grp )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  Grp )
19 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
20 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
21 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
22 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
231, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27161 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) y ) )
24233adant1 975 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) y ) )
2521, 19, 5, 20lmhmvsca 16041 . . . 4  |-  ( ( S  e.  CRing  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) y )  e.  ( M LMHom 
M ) )
26253adant1l 1176 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) y )  e.  ( M LMHom 
M ) )
2724, 26eqeltrd 2454 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
28 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( M LMHom  M ) )
29 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
30 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
31 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
321, 2, 30, 31mendplusg 27156 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  o F ( +g  `  M ) z ) )
3328, 29, 32syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( +g  `  A
) z )  =  ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )
3433oveq2d 6029 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) ( y  o F ( +g  `  M ) z ) ) )
35 simpr1 963 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
3618adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  Grp )
372, 31grpcl 14738 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Grp  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
3836, 28, 29, 37syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( +g  `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
391, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27161 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  (
y ( +g  `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) ( y ( +g  `  A
) z ) ) )
4035, 38, 39syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( +g  `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( +g  `  A
) z ) ) )
4135, 28, 23syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) y ) )
421, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27161 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) z ) )
4335, 29, 42syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) z ) )
4441, 43oveq12d 6031 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  o F ( +g  `  M ) ( x ( .s
`  A ) z ) )  =  ( ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) y )  o F ( +g  `  M ) ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) z ) ) )
45273adant3r3 1164 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M
) )
46 eleq1 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( M LMHom 
M )  <->  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )
47463anbi3d 1260 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  (
Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  <->  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) ) )
48 oveq2 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( x ( .s `  A ) z ) )
4948eleq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  e.  ( M LMHom 
M )  <->  ( x
( .s `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) ) )
5047, 49imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )  <-> 
( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) ) ) )
5150, 27chvarv 2039 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
52513adant3r2 1163 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
531, 2, 30, 31mendplusg 27156 . . . . 5  |-  ( ( ( x ( .s
`  A ) y )  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A ) y )  o F ( +g  `  M
) ( x ( .s `  A ) z ) ) )
5445, 52, 53syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A ) y )  o F ( +g  `  M
) ( x ( .s `  A ) z ) ) )
55 fvex 5675 . . . . . 6  |-  ( Base `  M )  e.  _V
5655a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
57 fconst6g 5565 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  ( ( Base `  M )  X. 
{ x } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
5835, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
5921, 21lmhmf 16030 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( M LMHom  M
)  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
6028, 59syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
6121, 21lmhmf 16030 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( M LMHom  M
)  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
6229, 61syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
63 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  M  e.  LMod )
6421, 30, 5, 19, 20lmodvsdi 15893 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
w  e.  ( Base `  S )  /\  v  e.  ( Base `  M
)  /\  u  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
w ( .s `  M ) ( v ( +g  `  M
) u ) )  =  ( ( w ( .s `  M
) v ) ( +g  `  M ) ( w ( .s
`  M ) u ) ) )
6563, 64sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  ( w  e.  ( Base `  S )  /\  v  e.  ( Base `  M )  /\  u  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( w ( .s
`  M ) ( v ( +g  `  M
) u ) )  =  ( ( w ( .s `  M
) v ) ( +g  `  M ) ( w ( .s
`  M ) u ) ) )
6656, 58, 60, 62, 65caofdi 6272 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )  =  ( ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y )  o F ( +g  `  M
) ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) z ) ) )
6744, 54, 663eqtr4d 2422 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) ( y  o F ( +g  `  M ) z ) ) )
6834, 40, 673eqtr4d 2422 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( +g  `  A
) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A
) y ) ( +g  `  A ) ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
6955a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
70 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
7170, 61syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
72 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
7372, 57syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
74 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  S
) )
75 fconst6g 5565 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( Base `  S
)  ->  ( ( Base `  M )  X. 
{ y } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
7674, 75syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { y } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
77 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  M  e.  LMod )
78 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
7921, 30, 5, 19, 20, 78lmodvsdir 15894 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
w  e.  ( Base `  S )  /\  v  e.  ( Base `  S
)  /\  u  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( w ( +g  `  S ) v ) ( .s `  M
) u )  =  ( ( w ( .s `  M ) u ) ( +g  `  M ) ( v ( .s `  M
) u ) ) )
8077, 79sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  ( w  e.  ( Base `  S
)  /\  v  e.  ( Base `  S )  /\  u  e.  ( Base `  M ) ) )  ->  ( (
w ( +g  `  S
) v ) ( .s `  M ) u )  =  ( ( w ( .s
`  M ) u ) ( +g  `  M
) ( v ( .s `  M ) u ) ) )
8169, 71, 73, 76, 80caofdir 6273 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( +g  `  S
) ( ( Base `  M )  X.  {
y } ) )  o F ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) z )  o F ( +g  `  M
) ( ( (
Base `  M )  X.  { y } )  o F ( .s
`  M ) z ) ) )
8214adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  S  e.  Ring )
8320, 78rngacl 15611 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( x
( +g  `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
8482, 72, 74, 83syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
851, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27161 . . . . 5  |-  ( ( ( x ( +g  `  S ) y )  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( x ( +g  `  S
) y ) ( .s `  A ) z )  =  ( ( ( Base `  M
)  X.  { ( x ( +g  `  S
) y ) } )  o F ( .s `  M ) z ) )
8684, 70, 85syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( +g  `  S ) y ) ( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
( x ( +g  `  S ) y ) } )  o F ( .s `  M
) z ) )
8769, 72, 74ofc12 6261 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( +g  `  S
) ( ( Base `  M )  X.  {
y } ) )  =  ( ( Base `  M )  X.  {
( x ( +g  `  S ) y ) } ) )
8887oveq1d 6028 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( +g  `  S
) ( ( Base `  M )  X.  {
y } ) )  o F ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( Base `  M
)  X.  { ( x ( +g  `  S
) y ) } )  o F ( .s `  M ) z ) )
8986, 88eqtr4d 2415 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( +g  `  S ) y ) ( .s `  A
) z )  =  ( ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( +g  `  S ) ( (
Base `  M )  X.  { y } ) )  o F ( .s `  M ) z ) )
90513adant3r2 1163 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
91 eleq1 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( Base `  S )  <->  y  e.  ( Base `  S )
) )
92913anbi2d 1259 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  (
Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  <->  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) ) )
93 oveq1 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( y ( .s `  A ) z ) )
9493eleq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( .s
`  A ) z )  e.  ( M LMHom 
M )  <->  ( y
( .s `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) ) )
9592, 94imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )  <-> 
( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
CRing )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) ) ) )
9695, 51chvarv 2039 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .s `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
97963adant3r1 1162 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
981, 2, 30, 31mendplusg 27156 . . . . 5  |-  ( ( ( x ( .s
`  A ) z )  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A ) z )  o F ( +g  `  M
) ( y ( .s `  A ) z ) ) )
9990, 97, 98syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A ) z )  o F ( +g  `  M
) ( y ( .s `  A ) z ) ) )
10072, 70, 42syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) z ) )
1011, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27161 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
y } )  o F ( .s `  M ) z ) )
10274, 70, 101syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { y } )  o F ( .s
`  M ) z ) )
103100, 102oveq12d 6031 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) z )  o F ( +g  `  M ) ( y ( .s
`  A ) z ) )  =  ( ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) z )  o F ( +g  `  M ) ( ( ( Base `  M
)  X.  { y } )  o F ( .s `  M
) z ) ) )
10499, 103eqtrd 2412 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) z )  o F ( +g  `  M ) ( ( ( Base `  M )  X.  {
y } )  o F ( .s `  M ) z ) ) )
10581, 89, 1043eqtr4d 2422 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( +g  `  S ) y ) ( .s `  A
) z )  =  ( ( x ( .s `  A ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( .s `  A
) z ) ) )
106 ovex 6038 . . . . 5  |-  ( x ( .r `  S
) y )  e. 
_V
107106a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( x
( .r `  S
) y )  e. 
_V )
10871ffvelrnda 5802 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( z `  k )  e.  (
Base `  M )
)
109 fconstmpt 4854 . . . . 5  |-  ( (
Base `  M )  X.  { ( x ( .r `  S ) y ) } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .r `  S ) y ) )
110109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { ( x ( .r `  S ) y ) } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .r `  S ) y ) ) )
11171feqmptd 5711 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( z `  k ) ) )
11269, 107, 108, 110, 111offval2 6254 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { ( x ( .r `  S ) y ) } )  o F ( .s `  M
) z )  =  ( k  e.  (
Base `  M )  |->  ( ( x ( .r `  S ) y ) ( .s
`  M ) ( z `  k ) ) ) )
113 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
11420, 113rngcl 15597 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( x
( .r `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
11582, 72, 74, 114syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .r `  S ) y )  e.  ( Base `  S
) )
1161, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27161 . . . 4  |-  ( ( ( x ( .r
`  S ) y )  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
x ( .r `  S ) y ) ( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
( x ( .r
`  S ) y ) } )  o F ( .s `  M ) z ) )
117115, 70, 116syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .r
`  S ) y ) ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { ( x ( .r `  S ) y ) } )  o F ( .s
`  M ) z ) )
11872adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
119 ovex 6038 . . . . . 6  |-  ( y ( .s `  M
) ( z `  k ) )  e. 
_V
120119a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( y
( .s `  M
) ( z `  k ) )  e. 
_V )
121 fconstmpt 4854 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
122121a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
123 simplr2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
124 fconstmpt 4854 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  M )  X.  { y } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  y )
125124a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { y } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  y ) )
12669, 123, 108, 125, 111offval2 6254 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { y } )  o F ( .s `  M
) z )  =  ( k  e.  (
Base `  M )  |->  ( y ( .s
`  M ) ( z `  k ) ) ) )
127102, 126eqtrd 2412 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .s `  A ) z )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y ( .s `  M ) ( z `  k
) ) ) )
12869, 118, 120, 122, 127offval2 6254 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) ( y ( .s `  A ) z ) )  =  ( k  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y ( .s `  M ) ( z `
 k ) ) ) ) )
1291, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27161 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  (
y ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .s `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .s `  A ) z ) ) )
13072, 97, 129syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .s `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .s `  A ) z ) ) )
13177adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  M  e.  LMod )
13221, 5, 19, 20, 113lmodvsass 15895 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  k )  e.  (
Base `  M )
) )  ->  (
( x ( .r
`  S ) y ) ( .s `  M ) ( z `
 k ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y ( .s
`  M ) ( z `  k ) ) ) )
133131, 118, 123, 108, 132syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( (
x ( .r `  S ) y ) ( .s `  M
) ( z `  k ) )  =  ( x ( .s
`  M ) ( y ( .s `  M ) ( z `
 k ) ) ) )
134133mpteq2dva 4229 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
k  e.  ( Base `  M )  |->  ( ( x ( .r `  S ) y ) ( .s `  M
) ( z `  k ) ) )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y ( .s
`  M ) ( z `  k ) ) ) ) )
135128, 130, 1343eqtr4d 2422 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .s `  A
) z ) )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( ( x ( .r `  S
) y ) ( .s `  M ) ( z `  k
) ) ) )
136112, 117, 1353eqtr4d 2422 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .r
`  S ) y ) ( .s `  A ) z )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .s
`  A ) z ) ) )
13714adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  S  e.  Ring )
138 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
13920, 138rngidcl 15604 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
140137, 139syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( 1r `  S )  e.  ( Base `  S
) )
1411, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27161 . . . 4  |-  ( ( ( 1r `  S
)  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  A ) x )  =  ( ( ( Base `  M
)  X.  { ( 1r `  S ) } )  o F ( .s `  M
) x ) )
142140, 141sylancom 649 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( 1r `  S
) ( .s `  A ) x )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { ( 1r `  S ) } )  o F ( .s
`  M ) x ) )
14355a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
14421, 21lmhmf 16030 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
145144adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  x : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
146 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  M  e.  LMod )
14721, 5, 19, 138lmodvs1 15898 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( 1r `  S
) ( .s `  M ) y )  =  y )
148146, 147sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  /\  y  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  M ) y )  =  y )
149143, 145, 140, 148caofid0l 6264 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { ( 1r `  S ) } )  o F ( .s `  M
) x )  =  x )
150142, 149eqtrd 2412 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( 1r `  S
) ( .s `  A ) x )  =  x )
1513, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 18, 27, 68, 105, 136, 150islmodd 15876 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892   {csn 3750    e. cmpt 4200    X. cxp 4809   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    o Fcof 6235   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   .rcmulr 13450  Scalarcsca 13452   .scvsca 13453   Grpcgrp 14605   Ringcrg 15580   CRingccrg 15581   1rcur 15582   LModclmod 15870   LMHom clmhm 16015  MEndocmend 27151
This theorem is referenced by:  mendassa  27164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-ghm 14924  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-cring 15584  df-ur 15585  df-lmod 15872  df-lmhm 16018  df-mend 27152
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