Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendlmod Unicode version

Theorem mendlmod 27501
 Description: The module endomorphism algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendassa.a MEndo
mendassa.s Scalar
Assertion
Ref Expression
mendlmod

Proof of Theorem mendlmod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4 MEndo
21mendbas 27492 . . 3 LMHom
32a1i 10 . 2 LMHom
4 eqidd 2284 . 2
5 mendassa.s . . . 4 Scalar
61, 5mendsca 27497 . . 3 Scalar
76a1i 10 . 2 Scalar
8 eqidd 2284 . 2
9 eqidd 2284 . 2
10 eqidd 2284 . 2
11 eqidd 2284 . 2
12 eqidd 2284 . 2
13 crngrng 15351 . . 3
151mendrng 27500 . . . 4
17 rnggrp 15346 . . 3
1816, 17syl 15 . 2
19 eqid 2283 . . . . 5
20 eqid 2283 . . . . 5
21 eqid 2283 . . . . 5
22 eqid 2283 . . . . 5
231, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27499 . . . 4 LMHom
24233adant1 973 . . 3 LMHom
2521, 19, 5, 20lmhmvsca 15802 . . . 4 LMHom LMHom
26253adant1l 1174 . . 3 LMHom LMHom
2724, 26eqeltrd 2357 . 2 LMHom LMHom
28 simpr2 962 . . . . 5 LMHom LMHom LMHom
29 simpr3 963 . . . . 5 LMHom LMHom LMHom
30 eqid 2283 . . . . . 6
31 eqid 2283 . . . . . 6
321, 2, 30, 31mendplusg 27494 . . . . 5 LMHom LMHom
3328, 29, 32syl2anc 642 . . . 4 LMHom LMHom
3433oveq2d 5874 . . 3 LMHom LMHom
35 simpr1 961 . . . 4 LMHom LMHom
3618adantr 451 . . . . 5 LMHom LMHom
372, 31grpcl 14495 . . . . 5 LMHom LMHom LMHom
3836, 28, 29, 37syl3anc 1182 . . . 4 LMHom LMHom LMHom
391, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27499 . . . 4 LMHom
4035, 38, 39syl2anc 642 . . 3 LMHom LMHom
4135, 28, 23syl2anc 642 . . . . 5 LMHom LMHom
421, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27499 . . . . . 6 LMHom
4335, 29, 42syl2anc 642 . . . . 5 LMHom LMHom
4441, 43oveq12d 5876 . . . 4 LMHom LMHom
45273adant3r3 1162 . . . . 5 LMHom LMHom LMHom
46 eleq1 2343 . . . . . . . . 9 LMHom LMHom
47463anbi3d 1258 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
48 oveq2 5866 . . . . . . . . 9
4948eleq1d 2349 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
5047, 49imbi12d 311 . . . . . . 7 LMHom LMHom LMHom LMHom
5150, 27chvarv 1953 . . . . . 6 LMHom LMHom
52513adant3r2 1161 . . . . 5 LMHom LMHom LMHom
531, 2, 30, 31mendplusg 27494 . . . . 5 LMHom LMHom
5445, 52, 53syl2anc 642 . . . 4 LMHom LMHom
55 fvex 5539 . . . . . 6
5655a1i 10 . . . . 5 LMHom LMHom
57 fconst6g 5430 . . . . . 6
5835, 57syl 15 . . . . 5 LMHom LMHom
5921, 21lmhmf 15791 . . . . . 6 LMHom
6028, 59syl 15 . . . . 5 LMHom LMHom
6121, 21lmhmf 15791 . . . . . 6 LMHom
6229, 61syl 15 . . . . 5 LMHom LMHom
63 simpll 730 . . . . . 6 LMHom LMHom
6421, 30, 5, 19, 20lmodvsdi 15650 . . . . . 6
6563, 64sylan 457 . . . . 5 LMHom LMHom
6656, 58, 60, 62, 65caofdi 6113 . . . 4 LMHom LMHom
6744, 54, 663eqtr4d 2325 . . 3 LMHom LMHom
6834, 40, 673eqtr4d 2325 . 2 LMHom LMHom
6955a1i 10 . . . 4 LMHom
70 simpr3 963 . . . . 5 LMHom LMHom
7170, 61syl 15 . . . 4 LMHom
72 simpr1 961 . . . . 5 LMHom
7372, 57syl 15 . . . 4 LMHom
74 simpr2 962 . . . . 5 LMHom
75 fconst6g 5430 . . . . 5
7674, 75syl 15 . . . 4 LMHom
77 simpll 730 . . . . 5 LMHom
78 eqid 2283 . . . . . 6
7921, 30, 5, 19, 20, 78lmodvsdir 15652 . . . . 5
8077, 79sylan 457 . . . 4 LMHom
8169, 71, 73, 76, 80caofdir 6114 . . 3 LMHom
8214adantr 451 . . . . . 6 LMHom
8320, 78rngacl 15368 . . . . . 6
8482, 72, 74, 83syl3anc 1182 . . . . 5 LMHom
851, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27499 . . . . 5 LMHom
8684, 70, 85syl2anc 642 . . . 4 LMHom
8769, 72, 74ofc12 6102 . . . . 5 LMHom
8887oveq1d 5873 . . . 4 LMHom
8986, 88eqtr4d 2318 . . 3 LMHom
90513adant3r2 1161 . . . . 5 LMHom LMHom
91 eleq1 2343 . . . . . . . . 9
92913anbi2d 1257 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
93 oveq1 5865 . . . . . . . . 9
9493eleq1d 2349 . . . . . . . 8 LMHom LMHom
9592, 94imbi12d 311 . . . . . . 7 LMHom LMHom LMHom LMHom
9695, 51chvarv 1953 . . . . . 6 LMHom LMHom
97963adant3r1 1160 . . . . 5 LMHom LMHom
981, 2, 30, 31mendplusg 27494 . . . . 5 LMHom LMHom
9990, 97, 98syl2anc 642 . . . 4 LMHom
10072, 70, 42syl2anc 642 . . . . 5 LMHom
1011, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27499 . . . . . 6 LMHom
10274, 70, 101syl2anc 642 . . . . 5 LMHom
103100, 102oveq12d 5876 . . . 4 LMHom
10499, 103eqtrd 2315 . . 3 LMHom
10581, 89, 1043eqtr4d 2325 . 2 LMHom
106 ovex 5883 . . . . 5
107106a1i 10 . . . 4 LMHom
108 ffvelrn 5663 . . . . 5
10971, 108sylan 457 . . . 4 LMHom
110 fconstmpt 4732 . . . . 5
111110a1i 10 . . . 4 LMHom
11271feqmptd 5575 . . . 4 LMHom
11369, 107, 109, 111, 112offval2 6095 . . 3 LMHom
114 eqid 2283 . . . . . 6
11520, 114rngcl 15354 . . . . 5
11682, 72, 74, 115syl3anc 1182 . . . 4 LMHom
1171, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27499 . . . 4 LMHom
118116, 70, 117syl2anc 642 . . 3 LMHom
11972adantr 451 . . . . 5 LMHom
120 ovex 5883 . . . . . 6
121120a1i 10 . . . . 5 LMHom
122 fconstmpt 4732 . . . . . 6
123122a1i 10 . . . . 5 LMHom
124 simplr2 998 . . . . . . 7 LMHom
125 fconstmpt 4732 . . . . . . . 8
126125a1i 10 . . . . . . 7 LMHom
12769, 124, 109, 126, 112offval2 6095 . . . . . 6 LMHom
128102, 127eqtrd 2315 . . . . 5 LMHom
12969, 119, 121, 123, 128offval2 6095 . . . 4 LMHom
1301, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27499 . . . . 5 LMHom
13172, 97, 130syl2anc 642 . . . 4 LMHom
13277adantr 451 . . . . . 6 LMHom
13321, 5, 19, 20, 114lmodvsass 15654 . . . . . 6
134132, 119, 124, 109, 133syl13anc 1184 . . . . 5 LMHom
135134mpteq2dva 4106 . . . 4 LMHom
136129, 131, 1353eqtr4d 2325 . . 3 LMHom
137113, 118, 1363eqtr4d 2325 . 2 LMHom
13814adantr 451 . . . . 5 LMHom
139 eqid 2283 . . . . . 6
14020, 139rngidcl 15361 . . . . 5
141138, 140syl 15 . . . 4 LMHom
1421, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27499 . . . 4 LMHom
143141, 142sylancom 648 . . 3 LMHom
14455a1i 10 . . . 4 LMHom
14521, 21lmhmf 15791 . . . . 5 LMHom
146145adantl 452 . . . 4 LMHom
147 simpll 730 . . . . 5 LMHom
14821, 5, 19, 139lmodvs1 15658 . . . . 5
149147, 148sylan 457 . . . 4 LMHom
150144, 146, 141, 149caofid0l 6105 . . 3 LMHom
151143, 150eqtrd 2315 . 2 LMHom
1523, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 18, 27, 68, 105, 137, 151islmodd 15633 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788  csn 3640   cmpt 4077   cxp 4687  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076  cbs 13148   cplusg 13208  cmulr 13209  Scalarcsca 13211  cvsca 13212  cgrp 14362  crg 15337  ccrg 15338  cur 15339  clmod 15627   LMHom clmhm 15776  MEndocmend 27489 This theorem is referenced by:  mendassa  27502 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-mend 27490
 Copyright terms: Public domain W3C validator