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Theorem mendlmod 27604
Description: The module endomorphism algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendassa.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendassa.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
Assertion
Ref Expression
mendlmod  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  LMod )

Proof of Theorem mendlmod
Dummy variables  x  y  z  u  k 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
21mendbas 27595 . . 3  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
32a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( M LMHom  M )  =  (
Base `  A )
)
4 eqidd 2297 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A
) )
5 mendassa.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  M )
61, 5mendsca 27600 . . 3  |-  S  =  (Scalar `  A )
76a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  =  (Scalar `  A )
)
8 eqidd 2297 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .s `  A )  =  ( .s `  A
) )
9 eqidd 2297 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( Base `  S )  =  ( Base `  S
) )
10 eqidd 2297 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S
) )
11 eqidd 2297 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  S
) )
12 eqidd 2297 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  ( 1r `  S )  =  ( 1r `  S
) )
13 crngrng 15367 . . 3  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
1413adantl 452 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  S  e.  Ring )
151mendrng 27603 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )
1615adantr 451 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  Ring )
17 rnggrp 15362 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. 
Grp )
1816, 17syl 15 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  Grp )
19 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
20 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
21 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
22 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
231, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27602 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) y ) )
24233adant1 973 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) y ) )
2521, 19, 5, 20lmhmvsca 15818 . . . 4  |-  ( ( S  e.  CRing  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) y )  e.  ( M LMHom 
M ) )
26253adant1l 1174 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) y )  e.  ( M LMHom 
M ) )
2724, 26eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
28 simpr2 962 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( M LMHom  M ) )
29 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
30 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
31 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
321, 2, 30, 31mendplusg 27597 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  o F ( +g  `  M ) z ) )
3328, 29, 32syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( +g  `  A
) z )  =  ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )
3433oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) ( y  o F ( +g  `  M ) z ) ) )
35 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
3618adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  A  e.  Grp )
372, 31grpcl 14511 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Grp  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
3836, 28, 29, 37syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( +g  `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
391, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27602 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  (
y ( +g  `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) ( y ( +g  `  A
) z ) ) )
4035, 38, 39syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( +g  `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( +g  `  A
) z ) ) )
4135, 28, 23syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) y ) )
421, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27602 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) z ) )
4335, 29, 42syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) z ) )
4441, 43oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  o F ( +g  `  M ) ( x ( .s
`  A ) z ) )  =  ( ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) y )  o F ( +g  `  M ) ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) z ) ) )
45273adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M
) )
46 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( M LMHom 
M )  <->  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )
47463anbi3d 1258 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  (
Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  <->  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) ) )
48 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
x ( .s `  A ) y )  =  ( x ( .s `  A ) z ) )
4948eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( x ( .s
`  A ) y )  e.  ( M LMHom 
M )  <->  ( x
( .s `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) ) )
5047, 49imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )  <-> 
( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) ) ) )
5150, 27chvarv 1966 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .s `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
52513adant3r2 1161 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
531, 2, 30, 31mendplusg 27597 . . . . 5  |-  ( ( ( x ( .s
`  A ) y )  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A ) y )  o F ( +g  `  M
) ( x ( .s `  A ) z ) ) )
5445, 52, 53syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A ) y )  o F ( +g  `  M
) ( x ( .s `  A ) z ) ) )
55 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( Base `  M )  e.  _V
5655a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
57 fconst6g 5446 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  ( ( Base `  M )  X. 
{ x } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
5835, 57syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
5921, 21lmhmf 15807 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( M LMHom  M
)  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
6028, 59syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
6121, 21lmhmf 15807 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( M LMHom  M
)  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
6229, 61syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
63 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  M  e.  LMod )
6421, 30, 5, 19, 20lmodvsdi 15666 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
w  e.  ( Base `  S )  /\  v  e.  ( Base `  M
)  /\  u  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
w ( .s `  M ) ( v ( +g  `  M
) u ) )  =  ( ( w ( .s `  M
) v ) ( +g  `  M ) ( w ( .s
`  M ) u ) ) )
6563, 64sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  ( w  e.  ( Base `  S )  /\  v  e.  ( Base `  M )  /\  u  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( w ( .s
`  M ) ( v ( +g  `  M
) u ) )  =  ( ( w ( .s `  M
) v ) ( +g  `  M ) ( w ( .s
`  M ) u ) ) )
6656, 58, 60, 62, 65caofdi 6129 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )  =  ( ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y )  o F ( +g  `  M
) ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) z ) ) )
6744, 54, 663eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) ( y  o F ( +g  `  M ) z ) ) )
6834, 40, 673eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( +g  `  A
) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A
) y ) ( +g  `  A ) ( x ( .s
`  A ) z ) ) )
6955a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
70 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
7170, 61syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
72 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S
) )
7372, 57syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
74 simpr2 962 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  S
) )
75 fconst6g 5446 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( Base `  S
)  ->  ( ( Base `  M )  X. 
{ y } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
7674, 75syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { y } ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  S
) )
77 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  M  e.  LMod )
78 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
7921, 30, 5, 19, 20, 78lmodvsdir 15668 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
w  e.  ( Base `  S )  /\  v  e.  ( Base `  S
)  /\  u  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( w ( +g  `  S ) v ) ( .s `  M
) u )  =  ( ( w ( .s `  M ) u ) ( +g  `  M ) ( v ( .s `  M
) u ) ) )
8077, 79sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  ( w  e.  ( Base `  S
)  /\  v  e.  ( Base `  S )  /\  u  e.  ( Base `  M ) ) )  ->  ( (
w ( +g  `  S
) v ) ( .s `  M ) u )  =  ( ( w ( .s
`  M ) u ) ( +g  `  M
) ( v ( .s `  M ) u ) ) )
8169, 71, 73, 76, 80caofdir 6130 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( +g  `  S
) ( ( Base `  M )  X.  {
y } ) )  o F ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) z )  o F ( +g  `  M
) ( ( (
Base `  M )  X.  { y } )  o F ( .s
`  M ) z ) ) )
8214adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  S  e.  Ring )
8320, 78rngacl 15384 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( x
( +g  `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
8482, 72, 74, 83syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
851, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27602 . . . . 5  |-  ( ( ( x ( +g  `  S ) y )  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( x ( +g  `  S
) y ) ( .s `  A ) z )  =  ( ( ( Base `  M
)  X.  { ( x ( +g  `  S
) y ) } )  o F ( .s `  M ) z ) )
8684, 70, 85syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( +g  `  S ) y ) ( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
( x ( +g  `  S ) y ) } )  o F ( .s `  M
) z ) )
8769, 72, 74ofc12 6118 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( +g  `  S
) ( ( Base `  M )  X.  {
y } ) )  =  ( ( Base `  M )  X.  {
( x ( +g  `  S ) y ) } ) )
8887oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( +g  `  S
) ( ( Base `  M )  X.  {
y } ) )  o F ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( Base `  M
)  X.  { ( x ( +g  `  S
) y ) } )  o F ( .s `  M ) z ) )
8986, 88eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( +g  `  S ) y ) ( .s `  A
) z )  =  ( ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( +g  `  S ) ( (
Base `  M )  X.  { y } ) )  o F ( .s `  M ) z ) )
90513adant3r2 1161 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
91 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( Base `  S )  <->  y  e.  ( Base `  S )
) )
92913anbi2d 1257 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  (
Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  <->  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) ) )
93 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( y ( .s `  A ) z ) )
9493eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( .s
`  A ) z )  e.  ( M LMHom 
M )  <->  ( y
( .s `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) ) )
9592, 94imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
CRing )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )  <-> 
( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
CRing )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M ) ) ) )
9695, 51chvarv 1966 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .s `  A
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
97963adant3r1 1160 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )
981, 2, 30, 31mendplusg 27597 . . . . 5  |-  ( ( ( x ( .s
`  A ) z )  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A ) z )  o F ( +g  `  M
) ( y ( .s `  A ) z ) ) )
9990, 97, 98syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  A ) z )  o F ( +g  `  M
) ( y ( .s `  A ) z ) ) )
10072, 70, 42syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) z ) )
1011, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27602 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
y } )  o F ( .s `  M ) z ) )
10274, 70, 101syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { y } )  o F ( .s
`  M ) z ) )
103100, 102oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) z )  o F ( +g  `  M ) ( y ( .s
`  A ) z ) )  =  ( ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) z )  o F ( +g  `  M ) ( ( ( Base `  M
)  X.  { y } )  o F ( .s `  M
) z ) ) )
10499, 103eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .s
`  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .s `  A ) z ) )  =  ( ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) z )  o F ( +g  `  M ) ( ( ( Base `  M )  X.  {
y } )  o F ( .s `  M ) z ) ) )
10581, 89, 1043eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( +g  `  S ) y ) ( .s `  A
) z )  =  ( ( x ( .s `  A ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( .s `  A
) z ) ) )
106 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( x ( .r `  S
) y )  e. 
_V
107106a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( x
( .r `  S
) y )  e. 
_V )
108 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( z : ( Base `  M ) --> ( Base `  M )  /\  k  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
z `  k )  e.  ( Base `  M
) )
10971, 108sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( z `  k )  e.  (
Base `  M )
)
110 fconstmpt 4748 . . . . 5  |-  ( (
Base `  M )  X.  { ( x ( .r `  S ) y ) } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .r `  S ) y ) )
111110a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { ( x ( .r `  S ) y ) } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .r `  S ) y ) ) )
11271feqmptd 5591 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( z `  k ) ) )
11369, 107, 109, 111, 112offval2 6111 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { ( x ( .r `  S ) y ) } )  o F ( .s `  M
) z )  =  ( k  e.  (
Base `  M )  |->  ( ( x ( .r `  S ) y ) ( .s
`  M ) ( z `  k ) ) ) )
114 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
11520, 114rngcl 15370 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( x
( .r `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
11682, 72, 74, 115syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .r `  S ) y )  e.  ( Base `  S
) )
1171, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27602 . . . 4  |-  ( ( ( x ( .r
`  S ) y )  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
x ( .r `  S ) y ) ( .s `  A
) z )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
( x ( .r
`  S ) y ) } )  o F ( .s `  M ) z ) )
118116, 70, 117syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .r
`  S ) y ) ( .s `  A ) z )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { ( x ( .r `  S ) y ) } )  o F ( .s
`  M ) z ) )
11972adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
120 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( y ( .s `  M
) ( z `  k ) )  e. 
_V
121120a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( y
( .s `  M
) ( z `  k ) )  e. 
_V )
122 fconstmpt 4748 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  M )  X.  { x } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  x )
123122a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { x } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  x ) )
124 simplr2 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
125 fconstmpt 4748 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  M )  X.  { y } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  y )
126125a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( Base `  M )  X.  { y } )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  y ) )
12769, 124, 109, 126, 112offval2 6111 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { y } )  o F ( .s `  M
) z )  =  ( k  e.  (
Base `  M )  |->  ( y ( .s
`  M ) ( z `  k ) ) ) )
128102, 127eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
y ( .s `  A ) z )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( y ( .s `  M ) ( z `  k
) ) ) )
12969, 119, 121, 123, 128offval2 6111 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) ( y ( .s `  A ) z ) )  =  ( k  e.  (
Base `  M )  |->  ( x ( .s
`  M ) ( y ( .s `  M ) ( z `
 k ) ) ) ) )
1301, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27602 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  S )  /\  (
y ( .s `  A ) z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .s `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .s `  A ) z ) ) )
13172, 97, 130syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .s `  A
) z ) )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) ( y ( .s `  A ) z ) ) )
13277adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  M  e.  LMod )
13321, 5, 19, 20, 114lmodvsass 15670 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  ( z `  k )  e.  (
Base `  M )
) )  ->  (
( x ( .r
`  S ) y ) ( .s `  M ) ( z `
 k ) )  =  ( x ( .s `  M ) ( y ( .s
`  M ) ( z `  k ) ) ) )
134132, 119, 124, 109, 133syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  /\  k  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( (
x ( .r `  S ) y ) ( .s `  M
) ( z `  k ) )  =  ( x ( .s
`  M ) ( y ( .s `  M ) ( z `
 k ) ) ) )
135134mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
k  e.  ( Base `  M )  |->  ( ( x ( .r `  S ) y ) ( .s `  M
) ( z `  k ) ) )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( x ( .s `  M ) ( y ( .s
`  M ) ( z `  k ) ) ) ) )
136129, 131, 1353eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
x ( .s `  A ) ( y ( .s `  A
) z ) )  =  ( k  e.  ( Base `  M
)  |->  ( ( x ( .r `  S
) y ) ( .s `  M ) ( z `  k
) ) ) )
137113, 118, 1363eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  ( x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  (
( x ( .r
`  S ) y ) ( .s `  A ) z )  =  ( x ( .s `  A ) ( y ( .s
`  A ) z ) ) )
13814adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  S  e.  Ring )
139 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
14020, 139rngidcl 15377 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
141138, 140syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( 1r `  S )  e.  ( Base `  S
) )
1421, 19, 2, 5, 20, 21, 22mendvsca 27602 . . . 4  |-  ( ( ( 1r `  S
)  e.  ( Base `  S )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  A ) x )  =  ( ( ( Base `  M
)  X.  { ( 1r `  S ) } )  o F ( .s `  M
) x ) )
143141, 142sylancom 648 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( 1r `  S
) ( .s `  A ) x )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { ( 1r `  S ) } )  o F ( .s
`  M ) x ) )
14455a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
14521, 21lmhmf 15807 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
146145adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  x : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
) )
147 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  M  e.  LMod )
14821, 5, 19, 139lmodvs1 15674 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( 1r `  S
) ( .s `  M ) y )  =  y )
149147, 148sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  /\  y  e.  (
Base `  M )
)  ->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  M ) y )  =  y )
150144, 146, 141, 149caofid0l 6121 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { ( 1r `  S ) } )  o F ( .s `  M
) x )  =  x )
151143, 150eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( 1r `  S
) ( .s `  A ) x )  =  x )
1523, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 18, 27, 68, 105, 137, 151islmodd 15649 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  CRing )  ->  A  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   Grpcgrp 14378   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   1rcur 15355   LModclmod 15643   LMHom clmhm 15792  MEndocmend 27592
This theorem is referenced by:  mendassa  27605
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lmhm 15795  df-mend 27593
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