Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendplusg Unicode version

Theorem mendplusg 27494
Description: A specific addition in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendplusgfval.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendplusgfval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mendplusgfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
mendplusg.q  |-  .+b  =  ( +g  `  A )
Assertion
Ref Expression
mendplusg  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+b  Y
)  =  ( X  o F  .+  Y
) )

Proof of Theorem mendplusg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5867 . 2  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( x  o F 
.+  y )  =  ( X  o F 
.+  Y ) )
2 mendplusg.q . . 3  |-  .+b  =  ( +g  `  A )
3 mendplusgfval.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
4 mendplusgfval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
5 mendplusgfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
63, 4, 5mendplusgfval 27493 . . 3  |-  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )
72, 6eqtri 2303 . 2  |-  .+b  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F 
.+  y ) )
8 ovex 5883 . 2  |-  ( X  o F  .+  Y
)  e.  _V
91, 7, 8ovmpt2a 5978 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+b  Y
)  =  ( X  o F  .+  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    o Fcof 6076   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  MEndocmend 27489
This theorem is referenced by:  mendrng  27500  mendlmod  27501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-lmhm 15779  df-mend 27490
  Copyright terms: Public domain W3C validator