Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendplusgfval Unicode version

Theorem mendplusgfval 27596
Description: Addition in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendplusgfval.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendplusgfval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mendplusgfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
mendplusgfval  |-  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, M, y    x,  .+ , y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem mendplusgfval
StepHypRef Expression
1 mendplusgfval.a . . . . 5  |-  A  =  (MEndo `  M )
2 mendplusgfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
31mendbas 27595 . . . . . . 7  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
42, 3eqtr4i 2319 . . . . . 6  |-  B  =  ( M LMHom  M )
5 mendplusgfval.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  M )
6 ofeq 6096 . . . . . . . . . 10  |-  (  .+  =  ( +g  `  M
)  ->  o F  .+  =  o F
( +g  `  M ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  o F 
.+  =  o F ( +g  `  M
)
87oveqi 5887 . . . . . . . 8  |-  ( x  o F  .+  y
)  =  ( x  o F ( +g  `  M ) y )
98a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  o F 
.+  y )  =  ( x  o F ( +g  `  M
) y ) )
109mpt2eq3ia 5929 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y
) )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F ( +g  `  M ) y ) )
11 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )
12 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
13 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )  =  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
144, 10, 11, 12, 13mendval 27594 . . . . 5  |-  ( M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } ) )
151, 14syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( M  e.  _V  ->  A  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F 
.+  y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } ) )
1615fveq2d 5545 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } ) ) )
17 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  e.  _V
182, 17eqeltri 2366 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
1918, 18mpt2ex 6214 . . . 4  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y
) )  e.  _V
20 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } )
2120algaddg 13295 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )  e. 
_V  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F 
.+  y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } ) ) )
2219, 21mp1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } ) ) )
2316, 22eqtr4d 2331 . 2  |-  ( M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F 
.+  y ) ) )
24 fvprc 5535 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  (/) )
251, 24syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  A  =  (/) )
2625fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  (/) ) )
27 df-plusg 13237 . . . . 5  |-  +g  = Slot  2
2827str0 13200 . . . 4  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
2926, 28syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  (/) )
3025fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (
Base `  A )  =  ( Base `  (/) ) )
31 base0 13201 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
3230, 2, 313eqtr4g 2353 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  B  =  (/) )
33 mpt2eq12 5924 . . . . . 6  |-  ( ( B  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  o F  .+  y
) ) )
3433anidms 626 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y
) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  o F  .+  y ) ) )
3532, 34syl 15 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  o F  .+  y
) ) )
36 mpt20 6215 . . . 4  |-  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  o F  .+  y ) )  =  (/)
3735, 36syl6eq 2344 . . 3  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )  =  (/) )
3829, 37eqtr4d 2331 . 2  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) ) )
3923, 38pm2.61i 156 1  |-  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163   (/)c0 3468   {csn 3653   {cpr 3654   {ctp 3655   <.cop 3656    X. cxp 4703    o. ccom 4709   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    o Fcof 6092   2c2 9811   ndxcnx 13161   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   LMHom clmhm 15792  MEndocmend 27592
This theorem is referenced by:  mendplusg  27597
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-lmhm 15795  df-mend 27593
  Copyright terms: Public domain W3C validator