Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendplusgfval Structured version   Unicode version

Theorem mendplusgfval 27470
Description: Addition in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendplusgfval.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendplusgfval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mendplusgfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
mendplusgfval  |-  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, M, y    x,  .+ , y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem mendplusgfval
StepHypRef Expression
1 mendplusgfval.a . . . . 5  |-  A  =  (MEndo `  M )
2 mendplusgfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
31mendbas 27469 . . . . . . 7  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
42, 3eqtr4i 2459 . . . . . 6  |-  B  =  ( M LMHom  M )
5 mendplusgfval.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  M )
6 ofeq 6307 . . . . . . . . . 10  |-  (  .+  =  ( +g  `  M
)  ->  o F  .+  =  o F
( +g  `  M ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  o F 
.+  =  o F ( +g  `  M
)
87oveqi 6094 . . . . . . . 8  |-  ( x  o F  .+  y
)  =  ( x  o F ( +g  `  M ) y )
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  o F 
.+  y )  =  ( x  o F ( +g  `  M
) y ) )
109mpt2eq3ia 6139 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y
) )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F ( +g  `  M ) y ) )
11 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )
12 eqid 2436 . . . . . 6  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
13 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )  =  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
144, 10, 11, 12, 13mendval 27468 . . . . 5  |-  ( M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } ) )
151, 14syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( M  e.  _V  ->  A  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F 
.+  y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } ) )
1615fveq2d 5732 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } ) ) )
17 fvex 5742 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  e.  _V
182, 17eqeltri 2506 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
1918, 18mpt2ex 6425 . . . 4  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y
) )  e.  _V
20 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } )
2120algaddg 13600 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )  e. 
_V  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F 
.+  y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } ) ) )
2219, 21mp1i 12 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y
) ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  M ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ,  y  e.  B  |->  ( ( ( Base `  M
)  X.  { x } )  o F ( .s `  M
) y ) )
>. } ) ) )
2316, 22eqtr4d 2471 . 2  |-  ( M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F 
.+  y ) ) )
24 fvprc 5722 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  (/) )
251, 24syl5eq 2480 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  A  =  (/) )
2625fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  (/) ) )
27 df-plusg 13542 . . . . 5  |-  +g  = Slot  2
2827str0 13505 . . . 4  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
2926, 28syl6eqr 2486 . . 3  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  (/) )
3025fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (
Base `  A )  =  ( Base `  (/) ) )
31 base0 13506 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
3230, 2, 313eqtr4g 2493 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  B  =  (/) )
33 mpt2eq12 6134 . . . . . 6  |-  ( ( B  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  o F  .+  y
) ) )
3433anidms 627 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y
) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  o F  .+  y ) ) )
3532, 34syl 16 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  o F  .+  y
) ) )
36 mpt20 6427 . . . 4  |-  ( x  e.  (/) ,  y  e.  (/)  |->  ( x  o F  .+  y ) )  =  (/)
3735, 36syl6eq 2484 . . 3  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )  =  (/) )
3829, 37eqtr4d 2471 . 2  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) ) )
3923, 38pm2.61i 158 1  |-  ( +g  `  A )  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o F  .+  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    u. cun 3318   (/)c0 3628   {csn 3814   {cpr 3815   {ctp 3816   <.cop 3817    X. cxp 4876    o. ccom 4882   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083    o Fcof 6303   2c2 10049   ndxcnx 13466   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   LMHom clmhm 16095  MEndocmend 27466
This theorem is referenced by:  mendplusg  27471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-lmhm 16098  df-mend 27467
  Copyright terms: Public domain W3C validator