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Theorem mendrng 27603
Description: The module endomorphism algebra is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mendassa.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
Assertion
Ref Expression
mendrng  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )

Proof of Theorem mendrng
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
21mendbas 27595 . . 3  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
32a1i 10 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
)
4 eqidd 2297 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A ) )
5 eqidd 2297 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
) )
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
81, 2, 6, 7mendplusg 27597 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  =  ( x  o F ( +g  `  M ) y ) )
96lmhmplusg 15817 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x  o F ( +g  `  M
) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
108, 9eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
11103adant1 973 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( +g  `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
12 simpr1 961 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( M LMHom  M ) )
13 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( M LMHom  M ) )
1412, 13, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x  o F ( +g  `  M
) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
15 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
161, 2, 6, 7mendplusg 27597 . . . . 5  |-  ( ( ( x  o F ( +g  `  M
) y )  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( x  o F ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  A
) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M
) y )  o F ( +g  `  M
) z ) )
1714, 15, 16syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o F ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  A ) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M ) y )  o F ( +g  `  M ) z ) )
1812, 13, 8syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  =  ( x  o F ( +g  `  M ) y ) )
1918oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( +g  `  A ) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  A ) z ) )
206lmhmplusg 15817 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y  o F ( +g  `  M
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
2113, 15, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( y  o F ( +g  `  M
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
221, 2, 6, 7mendplusg 27597 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y  o F ( +g  `  M ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( +g  `  A ) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )  =  ( x  o F ( +g  `  M
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
2312, 21, 22syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )  =  ( x  o F ( +g  `  M
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
241, 2, 6, 7mendplusg 27597 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  o F ( +g  `  M ) z ) )
2513, 15, 24syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  o F ( +g  `  M ) z ) )
2625oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( x ( +g  `  A
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
27 lmodgrp 15650 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
28 grpmnd 14510 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
2927, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Mnd )
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  M  e.  Mnd )
31 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
3231, 31lmhmf 15807 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3312, 32syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
34 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  e.  _V
3534, 34elmap 6812 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M ) )  <-> 
x : ( Base `  M ) --> ( Base `  M ) )
3633, 35sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) ) )
3731, 31lmhmf 15807 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M LMHom  M
)  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3813, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3934, 34elmap 6812 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M ) )  <-> 
y : ( Base `  M ) --> ( Base `  M ) )
4038, 39sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) ) )
4131, 31lmhmf 15807 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( M LMHom  M
)  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
4215, 41syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
4334, 34elmap 6812 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M ) )  <-> 
z : ( Base `  M ) --> ( Base `  M ) )
4442, 43sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) ) )
4531, 6mndvass 27550 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  (
( Base `  M )  ^m  ( Base `  M
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) )  /\  z  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M )
) ) )  -> 
( ( x  o F ( +g  `  M
) y )  o F ( +g  `  M
) z )  =  ( x  o F ( +g  `  M
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
4630, 36, 40, 44, 45syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o F ( +g  `  M ) y )  o F ( +g  `  M
) z )  =  ( x  o F ( +g  `  M
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
4723, 26, 463eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M ) y )  o F ( +g  `  M
) z ) )
4817, 19, 473eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( +g  `  A ) z )  =  ( x ( +g  `  A
) ( y ( +g  `  A ) z ) ) )
49 id 19 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
LMod )
50 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M ) )
51 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
52 eqid 2296 . . . . 5  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
5351, 31, 52, 520lmhm 15813 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  M  e.  LMod  /\  (Scalar `  M
)  =  (Scalar `  M ) )  -> 
( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } )  e.  ( M LMHom  M ) )
5449, 49, 50, 53syl3anc 1182 . . 3  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( (
Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } )  e.  ( M LMHom  M
) )
551, 2, 6, 7mendplusg 27597 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } )  e.  ( M LMHom  M )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } ) ( +g  `  A ) x )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } )  o F ( +g  `  M ) x ) )
5654, 55sylan 457 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } ) ( +g  `  A
) x )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
( 0g `  M
) } )  o F ( +g  `  M
) x ) )
5732, 35sylibr 203 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) ) )
5831, 6, 51mndvlid 27551 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M )
) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } )  o F ( +g  `  M
) x )  =  x )
5929, 57, 58syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } )  o F ( +g  `  M ) x )  =  x )
6056, 59eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } ) ( +g  `  A
) x )  =  x )
61 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( inv g `  M )  =  ( inv g `  M )
6261invlmhm 15815 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( inv g `  M )  e.  ( M LMHom  M
) )
63 lmhmco 15816 . . . 4  |-  ( ( ( inv g `  M )  e.  ( M LMHom  M )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( inv g `  M )  o.  x
)  e.  ( M LMHom 
M ) )
6462, 63sylan 457 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( inv g `  M )  o.  x )  e.  ( M LMHom  M ) )
651, 2, 6, 7mendplusg 27597 . . . . 5  |-  ( ( ( ( inv g `  M )  o.  x
)  e.  ( M LMHom 
M )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( inv g `  M )  o.  x
) ( +g  `  A
) x )  =  ( ( ( inv g `  M )  o.  x )  o F ( +g  `  M
) x ) )
6664, 65sylancom 648 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( inv g `  M )  o.  x
) ( +g  `  A
) x )  =  ( ( ( inv g `  M )  o.  x )  o F ( +g  `  M
) x ) )
6731, 6, 61, 51grpvlinv 27553 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M )
) )  ->  (
( ( inv g `  M )  o.  x
)  o F ( +g  `  M ) x )  =  ( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } ) )
6827, 57, 67syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( inv g `  M )  o.  x
)  o F ( +g  `  M ) x )  =  ( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } ) )
6966, 68eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( inv g `  M )  o.  x
) ( +g  `  A
) x )  =  ( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } ) )
703, 4, 11, 48, 54, 60, 64, 69isgrpd 14523 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Grp )
71 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
721, 2, 71mendmulr 27599 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) y )  =  ( x  o.  y
) )
73 lmhmco 15816 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x  o.  y )  e.  ( M LMHom  M ) )
7472, 73eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
75743adant1 973 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .r `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
76 coass 5207 . . 3  |-  ( ( x  o.  y )  o.  z )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) )
7712, 13, 72syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) y )  =  ( x  o.  y
) )
7877oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o.  y ) ( .r
`  A ) z ) )
7912, 13, 73syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x  o.  y )  e.  ( M LMHom  M ) )
801, 2, 71mendmulr 27599 . . . . 5  |-  ( ( ( x  o.  y
)  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
x  o.  y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z
) )
8179, 15, 80syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o.  y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z
) )
8278, 81eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z
) )
831, 2, 71mendmulr 27599 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .r `  A
) z )  =  ( y  o.  z
) )
8413, 15, 83syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( y
( .r `  A
) z )  =  ( y  o.  z
) )
8584oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( x ( .r
`  A ) ( y  o.  z ) ) )
86 lmhmco 15816 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y  o.  z )  e.  ( M LMHom  M ) )
8713, 15, 86syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( y  o.  z )  e.  ( M LMHom  M ) )
881, 2, 71mendmulr 27599 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y  o.  z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
x ( .r `  A ) ( y  o.  z ) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z
) ) )
8912, 87, 88syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y  o.  z ) )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) ) )
9085, 89eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) ) )
9176, 82, 903eqtr4a 2354 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( x ( .r
`  A ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
921, 2, 71mendmulr 27599 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y  o F ( +g  `  M ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .r `  A ) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )  =  ( x  o.  ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
9312, 21, 92syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )  =  ( x  o.  ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
9425oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( x ( .r
`  A ) ( y  o F ( +g  `  M ) z ) ) )
95 lmhmco 15816 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x  o.  z )  e.  ( M LMHom  M ) )
9612, 15, 95syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x  o.  z )  e.  ( M LMHom  M ) )
971, 2, 6, 7mendplusg 27597 . . . . 5  |-  ( ( ( x  o.  y
)  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
x  o.  z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
( x  o.  y
) ( +g  `  A
) ( x  o.  z ) )  =  ( ( x  o.  y )  o F ( +g  `  M
) ( x  o.  z ) ) )
9879, 96, 97syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o.  y ) ( +g  `  A
) ( x  o.  z ) )  =  ( ( x  o.  y )  o F ( +g  `  M
) ( x  o.  z ) ) )
991, 2, 71mendmulr 27599 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) z )  =  ( x  o.  z
) )
10012, 15, 99syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) z )  =  ( x  o.  z
) )
10177, 100oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .r `  A ) z ) )  =  ( ( x  o.  y ) ( +g  `  A ) ( x  o.  z ) ) )
102 lmghm 15804 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x  e.  ( M  GrpHom  M ) )
103 ghmmhm 14709 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M  GrpHom  M )  ->  x  e.  ( M MndHom  M ) )
10412, 102, 1033syl 18 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( M MndHom  M ) )
10531, 6, 6mhmvlin 27555 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( M MndHom  M )  /\  y  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) )  /\  z  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M )
) )  ->  (
x  o.  ( y  o F ( +g  `  M ) z ) )  =  ( ( x  o.  y )  o F ( +g  `  M ) ( x  o.  z ) ) )
106104, 40, 44, 105syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x  o.  ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )  =  ( ( x  o.  y )  o F ( +g  `  M
) ( x  o.  z ) ) )
10798, 101, 1063eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .r `  A ) z ) )  =  ( x  o.  (
y  o F ( +g  `  M ) z ) ) )
10893, 94, 1073eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  A ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( .r `  A
) z ) ) )
1091, 2, 71mendmulr 27599 . . . 4  |-  ( ( ( x  o F ( +g  `  M
) y )  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( x  o F ( +g  `  M ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M
) y )  o.  z ) )
11014, 15, 109syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o F ( +g  `  M ) y ) ( .r
`  A ) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M ) y )  o.  z
) )
11118oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M
) y ) ( .r `  A ) z ) )
1121, 2, 6, 7mendplusg 27597 . . . . 5  |-  ( ( ( x  o.  z
)  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y  o.  z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
( x  o.  z
) ( +g  `  A
) ( y  o.  z ) )  =  ( ( x  o.  z )  o F ( +g  `  M
) ( y  o.  z ) ) )
11396, 87, 112syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o.  z ) ( +g  `  A
) ( y  o.  z ) )  =  ( ( x  o.  z )  o F ( +g  `  M
) ( y  o.  z ) ) )
114100, 84oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( ( x  o.  z ) ( +g  `  A ) ( y  o.  z ) ) )
115 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( x : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
)  ->  x  Fn  ( Base `  M )
)
11612, 32, 1153syl 18 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  Fn  ( Base `  M )
)
117 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( y : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
)  ->  y  Fn  ( Base `  M )
)
11813, 37, 1173syl 18 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  Fn  ( Base `  M )
)
11934a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e.  _V )
120 inidm 3391 . . . . 5  |-  ( (
Base `  M )  i^i  ( Base `  M
) )  =  (
Base `  M )
121116, 118, 42, 119, 119, 119, 120ofco 6113 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o F ( +g  `  M ) y )  o.  z
)  =  ( ( x  o.  z )  o F ( +g  `  M ) ( y  o.  z ) ) )
122113, 114, 1213eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M
) y )  o.  z ) )
123110, 111, 1223eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( ( x ( .r
`  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
12431idlmhm 15814 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  (  _I  |`  ( Base `  M
) )  e.  ( M LMHom  M ) )
1251, 2, 71mendmulr 27599 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  ( Base `  M ) )  e.  ( M LMHom  M
)  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) ) ( .r
`  A ) x )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  M ) )  o.  x ) )
126124, 125sylan 457 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) ) ( .r
`  A ) x )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  M ) )  o.  x ) )
12732adantl 452 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  x :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
128 fcoi2 5432 . . . 4  |-  ( x : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) )  o.  x
)  =  x )
129127, 128syl 15 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) )  o.  x
)  =  x )
130126, 129eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) ) ( .r
`  A ) x )  =  x )
131 id 19 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x  e.  ( M LMHom  M ) )
1321, 2, 71mendmulr 27599 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (  _I  |`  ( Base `  M
) )  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .r `  A ) (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  ( x  o.  (  _I  |`  ( Base `  M ) ) ) )
133131, 124, 132syl2anr 464 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  ( x  o.  (  _I  |`  ( Base `  M ) ) ) )
134 fcoi1 5431 . . . 4  |-  ( x : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
)  ->  ( x  o.  (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  x )
135127, 134syl 15 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x  o.  (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  x )
136133, 135eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  x )
1373, 4, 5, 70, 75, 91, 108, 123, 124, 130, 136isrngd 15391 1  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   {csn 3653    _I cid 4320    X. cxp 4703    |` cres 4707    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   MndHom cmhm 14429    GrpHom cghm 14696   Ringcrg 15353   LModclmod 15643   LMHom clmhm 15792  MEndocmend 27592
This theorem is referenced by:  mendlmod  27604  mendassa  27605
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lmhm 15795  df-mend 27593
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