Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendrng Unicode version

Theorem mendrng 27500
Description: The module endomorphism algebra is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mendassa.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
Assertion
Ref Expression
mendrng  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )

Proof of Theorem mendrng
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mendassa.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
21mendbas 27492 . . 3  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
32a1i 10 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
)
4 eqidd 2284 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A ) )
5 eqidd 2284 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
) )
6 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
7 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
81, 2, 6, 7mendplusg 27494 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  =  ( x  o F ( +g  `  M ) y ) )
96lmhmplusg 15801 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x  o F ( +g  `  M
) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
108, 9eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
11103adant1 973 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( +g  `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
12 simpr1 961 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( M LMHom  M ) )
13 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( M LMHom  M ) )
1412, 13, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x  o F ( +g  `  M
) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
15 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( M LMHom  M ) )
161, 2, 6, 7mendplusg 27494 . . . . 5  |-  ( ( ( x  o F ( +g  `  M
) y )  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( x  o F ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  A
) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M
) y )  o F ( +g  `  M
) z ) )
1714, 15, 16syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o F ( +g  `  M ) y ) ( +g  `  A ) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M ) y )  o F ( +g  `  M ) z ) )
1812, 13, 8syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  =  ( x  o F ( +g  `  M ) y ) )
1918oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( +g  `  A ) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M
) y ) ( +g  `  A ) z ) )
206lmhmplusg 15801 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y  o F ( +g  `  M
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
2113, 15, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( y  o F ( +g  `  M
) z )  e.  ( M LMHom  M ) )
221, 2, 6, 7mendplusg 27494 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y  o F ( +g  `  M ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( +g  `  A ) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )  =  ( x  o F ( +g  `  M
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
2312, 21, 22syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )  =  ( x  o F ( +g  `  M
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
241, 2, 6, 7mendplusg 27494 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  o F ( +g  `  M ) z ) )
2513, 15, 24syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  o F ( +g  `  M ) z ) )
2625oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( x ( +g  `  A
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
27 lmodgrp 15634 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
28 grpmnd 14494 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
2927, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Mnd )
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  M  e.  Mnd )
31 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
3231, 31lmhmf 15791 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3312, 32syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
34 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  M )  e.  _V
3534, 34elmap 6796 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M ) )  <-> 
x : ( Base `  M ) --> ( Base `  M ) )
3633, 35sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) ) )
3731, 31lmhmf 15791 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M LMHom  M
)  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3813, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
3934, 34elmap 6796 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M ) )  <-> 
y : ( Base `  M ) --> ( Base `  M ) )
4038, 39sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) ) )
4131, 31lmhmf 15791 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( M LMHom  M
)  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
4215, 41syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
4334, 34elmap 6796 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M ) )  <-> 
z : ( Base `  M ) --> ( Base `  M ) )
4442, 43sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  z  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) ) )
4531, 6mndvass 27447 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  (
( Base `  M )  ^m  ( Base `  M
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) )  /\  z  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M )
) ) )  -> 
( ( x  o F ( +g  `  M
) y )  o F ( +g  `  M
) z )  =  ( x  o F ( +g  `  M
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
4630, 36, 40, 44, 45syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o F ( +g  `  M ) y )  o F ( +g  `  M
) z )  =  ( x  o F ( +g  `  M
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
4723, 26, 463eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M ) y )  o F ( +g  `  M
) z ) )
4817, 19, 473eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( +g  `  A ) z )  =  ( x ( +g  `  A
) ( y ( +g  `  A ) z ) ) )
49 id 19 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
LMod )
50 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M ) )
51 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
52 eqid 2283 . . . . 5  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
5351, 31, 52, 520lmhm 15797 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  M  e.  LMod  /\  (Scalar `  M
)  =  (Scalar `  M ) )  -> 
( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } )  e.  ( M LMHom  M ) )
5449, 49, 50, 53syl3anc 1182 . . 3  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( (
Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } )  e.  ( M LMHom  M
) )
551, 2, 6, 7mendplusg 27494 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } )  e.  ( M LMHom  M )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } ) ( +g  `  A ) x )  =  ( ( (
Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } )  o F ( +g  `  M ) x ) )
5654, 55sylan 457 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } ) ( +g  `  A
) x )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
( 0g `  M
) } )  o F ( +g  `  M
) x ) )
5732, 35sylibr 203 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) ) )
5831, 6, 51mndvlid 27448 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M )
) )  ->  (
( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } )  o F ( +g  `  M
) x )  =  x )
5929, 57, 58syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } )  o F ( +g  `  M ) x )  =  x )
6056, 59eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( Base `  M )  X.  { ( 0g `  M ) } ) ( +g  `  A
) x )  =  x )
61 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( inv g `  M )  =  ( inv g `  M )
6261invlmhm 15799 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( inv g `  M )  e.  ( M LMHom  M
) )
63 lmhmco 15800 . . . 4  |-  ( ( ( inv g `  M )  e.  ( M LMHom  M )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  (
( inv g `  M )  o.  x
)  e.  ( M LMHom 
M ) )
6462, 63sylan 457 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( inv g `  M )  o.  x )  e.  ( M LMHom  M ) )
651, 2, 6, 7mendplusg 27494 . . . . 5  |-  ( ( ( ( inv g `  M )  o.  x
)  e.  ( M LMHom 
M )  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( inv g `  M )  o.  x
) ( +g  `  A
) x )  =  ( ( ( inv g `  M )  o.  x )  o F ( +g  `  M
) x ) )
6664, 65sylancom 648 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( inv g `  M )  o.  x
) ( +g  `  A
) x )  =  ( ( ( inv g `  M )  o.  x )  o F ( +g  `  M
) x ) )
6731, 6, 61, 51grpvlinv 27450 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M )
) )  ->  (
( ( inv g `  M )  o.  x
)  o F ( +g  `  M ) x )  =  ( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } ) )
6827, 57, 67syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( inv g `  M )  o.  x
)  o F ( +g  `  M ) x )  =  ( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } ) )
6966, 68eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
( inv g `  M )  o.  x
) ( +g  `  A
) x )  =  ( ( Base `  M
)  X.  { ( 0g `  M ) } ) )
703, 4, 11, 48, 54, 60, 64, 69isgrpd 14507 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Grp )
71 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
721, 2, 71mendmulr 27496 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) y )  =  ( x  o.  y
) )
73 lmhmco 15800 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x  o.  y )  e.  ( M LMHom  M ) )
7472, 73eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
75743adant1 973 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .r `  A ) y )  e.  ( M LMHom  M ) )
76 coass 5191 . . 3  |-  ( ( x  o.  y )  o.  z )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) )
7712, 13, 72syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) y )  =  ( x  o.  y
) )
7877oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o.  y ) ( .r
`  A ) z ) )
7912, 13, 73syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x  o.  y )  e.  ( M LMHom  M ) )
801, 2, 71mendmulr 27496 . . . . 5  |-  ( ( ( x  o.  y
)  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (
x  o.  y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z
) )
8179, 15, 80syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o.  y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z
) )
8278, 81eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z
) )
831, 2, 71mendmulr 27496 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y
( .r `  A
) z )  =  ( y  o.  z
) )
8413, 15, 83syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( y
( .r `  A
) z )  =  ( y  o.  z
) )
8584oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( x ( .r
`  A ) ( y  o.  z ) ) )
86 lmhmco 15800 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( y  o.  z )  e.  ( M LMHom  M ) )
8713, 15, 86syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( y  o.  z )  e.  ( M LMHom  M ) )
881, 2, 71mendmulr 27496 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y  o.  z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
x ( .r `  A ) ( y  o.  z ) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z
) ) )
8912, 87, 88syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y  o.  z ) )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) ) )
9085, 89eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) ) )
9176, 82, 903eqtr4a 2341 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( x ( .r
`  A ) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
921, 2, 71mendmulr 27496 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y  o F ( +g  `  M ) z )  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .r `  A ) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )  =  ( x  o.  ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
9312, 21, 92syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )  =  ( x  o.  ( y  o F ( +g  `  M
) z ) ) )
9425oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( x ( .r
`  A ) ( y  o F ( +g  `  M ) z ) ) )
95 lmhmco 15800 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x  o.  z )  e.  ( M LMHom  M ) )
9612, 15, 95syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x  o.  z )  e.  ( M LMHom  M ) )
971, 2, 6, 7mendplusg 27494 . . . . 5  |-  ( ( ( x  o.  y
)  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
x  o.  z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
( x  o.  y
) ( +g  `  A
) ( x  o.  z ) )  =  ( ( x  o.  y )  o F ( +g  `  M
) ( x  o.  z ) ) )
9879, 96, 97syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o.  y ) ( +g  `  A
) ( x  o.  z ) )  =  ( ( x  o.  y )  o F ( +g  `  M
) ( x  o.  z ) ) )
991, 2, 71mendmulr 27496 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) z )  =  ( x  o.  z
) )
10012, 15, 99syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) z )  =  ( x  o.  z
) )
10177, 100oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .r `  A ) z ) )  =  ( ( x  o.  y ) ( +g  `  A ) ( x  o.  z ) ) )
102 lmghm 15788 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x  e.  ( M  GrpHom  M ) )
103 ghmmhm 14693 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M  GrpHom  M )  ->  x  e.  ( M MndHom  M ) )
10412, 102, 1033syl 18 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  e.  ( M MndHom  M ) )
10531, 6, 6mhmvlin 27452 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( M MndHom  M )  /\  y  e.  ( ( Base `  M
)  ^m  ( Base `  M ) )  /\  z  e.  ( ( Base `  M )  ^m  ( Base `  M )
) )  ->  (
x  o.  ( y  o F ( +g  `  M ) z ) )  =  ( ( x  o.  y )  o F ( +g  `  M ) ( x  o.  z ) ) )
106104, 40, 44, 105syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x  o.  ( y  o F ( +g  `  M
) z ) )  =  ( ( x  o.  y )  o F ( +g  `  M
) ( x  o.  z ) ) )
10798, 101, 1063eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) y ) ( +g  `  A
) ( x ( .r `  A ) z ) )  =  ( x  o.  (
y  o F ( +g  `  M ) z ) ) )
10893, 94, 1073eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( x
( .r `  A
) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  A ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( .r `  A
) z ) ) )
1091, 2, 71mendmulr 27496 . . . 4  |-  ( ( ( x  o F ( +g  `  M
) y )  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( ( x  o F ( +g  `  M ) y ) ( .r `  A
) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M
) y )  o.  z ) )
11014, 15, 109syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o F ( +g  `  M ) y ) ( .r
`  A ) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M ) y )  o.  z
) )
11118oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M
) y ) ( .r `  A ) z ) )
1121, 2, 6, 7mendplusg 27494 . . . . 5  |-  ( ( ( x  o.  z
)  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (
y  o.  z )  e.  ( M LMHom  M
) )  ->  (
( x  o.  z
) ( +g  `  A
) ( y  o.  z ) )  =  ( ( x  o.  z )  o F ( +g  `  M
) ( y  o.  z ) ) )
11396, 87, 112syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o.  z ) ( +g  `  A
) ( y  o.  z ) )  =  ( ( x  o.  z )  o F ( +g  `  M
) ( y  o.  z ) ) )
114100, 84oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( ( x  o.  z ) ( +g  `  A ) ( y  o.  z ) ) )
115 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( x : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
)  ->  x  Fn  ( Base `  M )
)
11612, 32, 1153syl 18 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  x  Fn  ( Base `  M )
)
117 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( y : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
)  ->  y  Fn  ( Base `  M )
)
11813, 37, 1173syl 18 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  y  Fn  ( Base `  M )
)
11934a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( Base `  M )  e.  _V )
120 inidm 3378 . . . . 5  |-  ( (
Base `  M )  i^i  ( Base `  M
) )  =  (
Base `  M )
121116, 118, 42, 119, 119, 119, 120ofco 6097 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x  o F ( +g  `  M ) y )  o.  z
)  =  ( ( x  o.  z )  o F ( +g  `  M ) ( y  o.  z ) ) )
122113, 114, 1213eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) )  =  ( ( x  o F ( +g  `  M
) y )  o.  z ) )
123110, 111, 1223eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  y  e.  ( M LMHom  M )  /\  z  e.  ( M LMHom  M ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( .r `  A ) z )  =  ( ( x ( .r
`  A ) z ) ( +g  `  A
) ( y ( .r `  A ) z ) ) )
12431idlmhm 15798 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  (  _I  |`  ( Base `  M
) )  e.  ( M LMHom  M ) )
1251, 2, 71mendmulr 27496 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  ( Base `  M ) )  e.  ( M LMHom  M
)  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) ) ( .r
`  A ) x )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  M ) )  o.  x ) )
126124, 125sylan 457 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) ) ( .r
`  A ) x )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  M ) )  o.  x ) )
12732adantl 452 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  x :
( Base `  M ) --> ( Base `  M )
)
128 fcoi2 5416 . . . 4  |-  ( x : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) )  o.  x
)  =  x )
129127, 128syl 15 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) )  o.  x
)  =  x )
130126, 129eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  M
) ) ( .r
`  A ) x )  =  x )
131 id 19 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M LMHom  M
)  ->  x  e.  ( M LMHom  M ) )
1321, 2, 71mendmulr 27496 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( M LMHom 
M )  /\  (  _I  |`  ( Base `  M
) )  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x ( .r `  A ) (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  ( x  o.  (  _I  |`  ( Base `  M ) ) ) )
133131, 124, 132syl2anr 464 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  ( x  o.  (  _I  |`  ( Base `  M ) ) ) )
134 fcoi1 5415 . . . 4  |-  ( x : ( Base `  M
) --> ( Base `  M
)  ->  ( x  o.  (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  x )
135127, 134syl 15 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x  o.  (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  x )
136133, 135eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  x  e.  ( M LMHom  M ) )  ->  ( x
( .r `  A
) (  _I  |`  ( Base `  M ) ) )  =  x )
1373, 4, 5, 70, 75, 91, 108, 123, 124, 130, 136isrngd 15375 1  |-  ( M  e.  LMod  ->  A  e. 
Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640    _I cid 4304    X. cxp 4687    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   MndHom cmhm 14413    GrpHom cghm 14680   Ringcrg 15337   LModclmod 15627   LMHom clmhm 15776  MEndocmend 27489
This theorem is referenced by:  mendlmod  27501  mendassa  27502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-mend 27490
  Copyright terms: Public domain W3C validator