Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvsca Unicode version

Theorem mendvsca 27168
Description: A specific scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendvscafval.v  |-  .x.  =  ( .s `  M )
mendvscafval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mendvscafval.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
mendvscafval.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
mendvscafval.e  |-  E  =  ( Base `  M
)
mendvsca.w  |-  .xb  =  ( .s `  A )
Assertion
Ref Expression
mendvsca  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .xb  Y
)  =  ( ( E  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) )

Proof of Theorem mendvsca
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3768 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
21xpeq2d 4842 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  ( E  X.  { x }
)  =  ( E  X.  { X }
) )
3 id 20 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  y  =  Y )
42, 3oveqan12d 6039 . 2  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
)  =  ( ( E  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) )
5 mendvsca.w . . 3  |-  .xb  =  ( .s `  A )
6 mendvscafval.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
7 mendvscafval.v . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  M )
8 mendvscafval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
9 mendvscafval.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  M )
10 mendvscafval.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  S
)
11 mendvscafval.e . . . 4  |-  E  =  ( Base `  M
)
126, 7, 8, 9, 10, 11mendvscafval 27167 . . 3  |-  ( .s
`  A )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) )
135, 12eqtri 2407 . 2  |-  .xb  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) )
14 ovex 6045 . 2  |-  ( ( E  X.  { X } )  o F 
.x.  Y )  e. 
_V
154, 13, 14ovmpt2a 6143 1  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .xb  Y
)  =  ( ( E  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {csn 3757    X. cxp 4816   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022    o Fcof 6242   Basecbs 13396  Scalarcsca 13459   .scvsca 13460  MEndocmend 27158
This theorem is referenced by:  mendlmod  27170  mendassa  27171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-lmhm 16025  df-mend 27159
  Copyright terms: Public domain W3C validator