Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvsca Unicode version

Theorem mendvsca 27499
Description: A specific scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendvscafval.v  |-  .x.  =  ( .s `  M )
mendvscafval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mendvscafval.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
mendvscafval.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
mendvscafval.e  |-  E  =  ( Base `  M
)
mendvsca.w  |-  .xb  =  ( .s `  A )
Assertion
Ref Expression
mendvsca  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .xb  Y
)  =  ( ( E  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) )

Proof of Theorem mendvsca
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3651 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
21xpeq2d 4713 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  ( E  X.  { x }
)  =  ( E  X.  { X }
) )
3 id 19 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  y  =  Y )
42, 3oveqan12d 5877 . 2  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
)  =  ( ( E  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) )
5 mendvsca.w . . 3  |-  .xb  =  ( .s `  A )
6 mendvscafval.a . . . 4  |-  A  =  (MEndo `  M )
7 mendvscafval.v . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  M )
8 mendvscafval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
9 mendvscafval.s . . . 4  |-  S  =  (Scalar `  M )
10 mendvscafval.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  S
)
11 mendvscafval.e . . . 4  |-  E  =  ( Base `  M
)
126, 7, 8, 9, 10, 11mendvscafval 27498 . . 3  |-  ( .s
`  A )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) )
135, 12eqtri 2303 . 2  |-  .xb  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) )
14 ovex 5883 . 2  |-  ( ( E  X.  { X } )  o F 
.x.  Y )  e. 
_V
154, 13, 14ovmpt2a 5978 1  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .xb  Y
)  =  ( ( E  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    o Fcof 6076   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212  MEndocmend 27489
This theorem is referenced by:  mendlmod  27501  mendassa  27502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-lmhm 15779  df-mend 27490
  Copyright terms: Public domain W3C validator