Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvscafval Structured version   Unicode version

Theorem mendvscafval 27477
Description: Scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a  |-  A  =  (MEndo `  M )
mendvscafval.v  |-  .x.  =  ( .s `  M )
mendvscafval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mendvscafval.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
mendvscafval.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
mendvscafval.e  |-  E  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
mendvscafval  |-  ( .s
`  A )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    x, M, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    S( x, y)    .x. ( x, y)    E( x, y)

Proof of Theorem mendvscafval
StepHypRef Expression
1 mendvscafval.a . . 3  |-  A  =  (MEndo `  M )
21fveq2i 5733 . 2  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  (MEndo `  M ) )
3 mendvscafval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
41mendbas 27471 . . . . . . 7  |-  ( M LMHom 
M )  =  (
Base `  A )
53, 4eqtr4i 2461 . . . . . 6  |-  B  =  ( M LMHom  M )
6 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F ( +g  `  M ) y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F ( +g  `  M ) y ) )
7 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) )
8 mendvscafval.s . . . . . 6  |-  S  =  (Scalar `  M )
9 mendvscafval.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  S
)
10 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  B  =  B
11 mendvscafval.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( Base `  M
)
1211xpeq1i 4900 . . . . . . . 8  |-  ( E  X.  { x }
)  =  ( (
Base `  M )  X.  { x } )
13 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  y  =  y
14 mendvscafval.v . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .s `  M )
15 ofeq 6309 . . . . . . . . 9  |-  (  .x.  =  ( .s `  M )  ->  o F  .x.  =  o F ( .s `  M
) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  o F 
.x.  =  o F ( .s `  M
)
1712, 13, 16oveq123i 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( E  X.  { x } )  o F 
.x.  y )  =  ( ( ( Base `  M )  X.  {
x } )  o F ( .s `  M ) y )
189, 10, 17mpt2eq123i 6139 . . . . . 6  |-  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F 
.x.  y ) )  =  ( x  e.  ( Base `  S
) ,  y  e.  B  |->  ( ( (
Base `  M )  X.  { x } )  o F ( .s
`  M ) y ) )
195, 6, 7, 8, 18mendval 27470 . . . . 5  |-  ( M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) ) >. } ) )
2019fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M
) )  =  ( .s `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) ) >. } ) ) )
21 fvex 5744 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  e.  _V
229, 21eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  K  e. 
_V
23 fvex 5744 . . . . . . 7  |-  ( Base `  A )  e.  _V
243, 23eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2522, 24mpt2ex 6427 . . . . 5  |-  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F 
.x.  y ) )  e.  _V
26 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) ) >. } )  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) ) >. } )
2726algvsca 13605 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  o F  .x.  y ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  o F  .x.  y ) )  =  ( .s
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) ) >. } ) ) )
2825, 27mp1i 12 . . . 4  |-  ( M  e.  _V  ->  (
x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  o F  .x.  y ) )  =  ( .s
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  o F ( +g  `  M
) y ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  o.  y ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) ) >. } ) ) )
2920, 28eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M
) )  =  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  o F  .x.  y ) ) )
30 fvprc 5724 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (MEndo `  M )  =  (/) )
3130fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M ) )  =  ( .s `  (/) ) )
32 df-vsca 13548 . . . . . 6  |-  .s  = Slot  6
3332str0 13507 . . . . 5  |-  (/)  =  ( .s `  (/) )
3431, 33syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M ) )  =  (/) )
35 fvprc 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (Scalar `  M )  =  (/) )
368, 35syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  S  =  (/) )
3736fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  (
Base `  S )  =  ( Base `  (/) ) )
38 base0 13508 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
3937, 9, 383eqtr4g 2495 . . . . . 6  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  K  =  (/) )
40 mpt2eq12 6136 . . . . . 6  |-  ( ( K  =  (/)  /\  B  =  B )  ->  (
x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  o F  .x.  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x }
)  o F  .x.  y ) ) )
4139, 10, 40sylancl 645 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  o F  .x.  y ) )  =  ( x  e.  (/) ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x }
)  o F  .x.  y ) ) )
42 mpt20 6429 . . . . 5  |-  ( x  e.  (/) ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x }
)  o F  .x.  y ) )  =  (/)
4341, 42syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  o F  .x.  y ) )  =  (/) )
4434, 43eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( -.  M  e.  _V  ->  ( .s `  (MEndo `  M ) )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) ) )
4529, 44pm2.61i 159 . 2  |-  ( .s
`  (MEndo `  M
) )  =  ( x  e.  K , 
y  e.  B  |->  ( ( E  X.  {
x } )  o F  .x.  y ) )
462, 45eqtri 2458 1  |-  ( .s
`  A )  =  ( x  e.  K ,  y  e.  B  |->  ( ( E  X.  { x } )  o F  .x.  y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320   (/)c0 3630   {csn 3816   {cpr 3817   {ctp 3818   <.cop 3819    X. cxp 4878    o. ccom 4884   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085    o Fcof 6305   6c6 10055   ndxcnx 13468   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   .rcmulr 13532  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   LMHom clmhm 16097  MEndocmend 27468
This theorem is referenced by:  mendvsca  27478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-lmhm 16100  df-mend 27469
  Copyright terms: Public domain W3C validator