Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendvscafval Structured version   Unicode version

Theorem mendvscafval 27477
 Description: Scalar multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendvscafval.a MEndo
mendvscafval.v
mendvscafval.b
mendvscafval.s Scalar
mendvscafval.k
mendvscafval.e
Assertion
Ref Expression
mendvscafval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mendvscafval
StepHypRef Expression
1 mendvscafval.a . . 3 MEndo
21fveq2i 5733 . 2 MEndo
3 mendvscafval.b . . . . . . 7
41mendbas 27471 . . . . . . 7 LMHom
53, 4eqtr4i 2461 . . . . . 6 LMHom
6 eqid 2438 . . . . . 6
7 eqid 2438 . . . . . 6
8 mendvscafval.s . . . . . 6 Scalar
9 mendvscafval.k . . . . . . 7
10 eqid 2438 . . . . . . 7
11 mendvscafval.e . . . . . . . . 9
1211xpeq1i 4900 . . . . . . . 8
13 eqid 2438 . . . . . . . 8
14 mendvscafval.v . . . . . . . . 9
15 ofeq 6309 . . . . . . . . 9
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . 8
1712, 13, 16oveq123i 6097 . . . . . . 7
189, 10, 17mpt2eq123i 6139 . . . . . 6
195, 6, 7, 8, 18mendval 27470 . . . . 5 MEndo Scalar
2019fveq2d 5734 . . . 4 MEndo Scalar
21 fvex 5744 . . . . . . 7
229, 21eqeltri 2508 . . . . . 6
23 fvex 5744 . . . . . . 7
243, 23eqeltri 2508 . . . . . 6
2522, 24mpt2ex 6427 . . . . 5
26 eqid 2438 . . . . . 6 Scalar Scalar
2726algvsca 13605 . . . . 5 Scalar
2825, 27mp1i 12 . . . 4 Scalar
2920, 28eqtr4d 2473 . . 3 MEndo
30 fvprc 5724 . . . . . 6 MEndo
3130fveq2d 5734 . . . . 5 MEndo
32 df-vsca 13548 . . . . . 6 Slot
3332str0 13507 . . . . 5
3431, 33syl6eqr 2488 . . . 4 MEndo
35 fvprc 5724 . . . . . . . . 9 Scalar
368, 35syl5eq 2482 . . . . . . . 8
3736fveq2d 5734 . . . . . . 7
38 base0 13508 . . . . . . 7
3937, 9, 383eqtr4g 2495 . . . . . 6
40 mpt2eq12 6136 . . . . . 6
4139, 10, 40sylancl 645 . . . . 5
42 mpt20 6429 . . . . 5
4341, 42syl6eq 2486 . . . 4
4434, 43eqtr4d 2473 . . 3 MEndo
4529, 44pm2.61i 159 . 2 MEndo
462, 45eqtri 2458 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cun 3320  c0 3630  csn 3816  cpr 3817  ctp 3818  cop 3819   cxp 4878   ccom 4884  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085   cof 6305  c6 10055  cnx 13468  cbs 13471   cplusg 13531  cmulr 13532  Scalarcsca 13534  cvsca 13535   LMHom clmhm 16097  MEndocmend 27468 This theorem is referenced by:  mendvsca  27478 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-lmhm 16100  df-mend 27469
 Copyright terms: Public domain W3C validator