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Theorem merco1lem18 1489
Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 1468. (Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
merco1lem18  |-  ( (
ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )

Proof of Theorem merco1lem18
StepHypRef Expression
1 merco1 1468 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ps )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  F.  ) )  -> 
( ( ps  ->  ch )  ->  ps )
)  ->  ph )  -> 
( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )
2 merco1lem17 1488 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ps )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  F.  )
)  ->  ( ( ps  ->  ch )  ->  ps ) )  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  (
( ( ( ps 
->  ch )  ->  ps )  ->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( ( ( ps  ->  ch )  ->  ps )  ->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )
4 merco1lem17 1488 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ps 
->  ch )  ->  ps )  ->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) ) )
53, 4ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ps  ->  ph )  -> 
( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )
6 merco1lem5 1475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps 
->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  )
)  ->  F.  )  ->  F.  )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps 
->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  )
)  ->  F.  )
)
7 merco1lem3 1473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  ) )  ->  F.  )  ->  F.  )  ->  F.  )  ->  ( (
( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  ) )  ->  F.  ) )  ->  (
( ( ( (
ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  ) )  ->  (
( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  ( ( ps 
->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps 
->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  )
)  ->  F.  )  ->  F.  ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  ) )  ->  (
( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  ( ( ps 
->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps 
->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  )
)  ->  F.  )  ->  F.  ) )
9 merco1lem5 1475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  ) )  ->  (
( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  ( ( ps 
->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps 
->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  )
)  ->  F.  )  ->  F.  ) )  -> 
( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  -> 
( ( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps 
->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  )
)  ->  F.  )  ->  F.  ) ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  ( ( ps 
->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  ( (
( ( ( (
ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )
11 merco1lem4 1474 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  ( (
( ( ( (
ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )  ->  ( ( ( ps 
->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  ( ( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )
)
1210, 11ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  ( ( ps 
->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps 
->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  )
)  ->  F.  )  ->  F.  ) )
13 merco1 1468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  ( ( ps 
->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps 
->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  )
)  ->  F.  )  ->  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( (
( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) ) ) )
14 merco1lem2 1472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps 
->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  )
)  ->  F.  )  ->  ( ps  ->  ph )
)  ->  ( (
( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) ) ) )  ->  (
( ( ( ps 
->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  ( ( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  ) )  ->  F.  )  ->  F.  ) )  ->  ( ( ( ps 
->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) ) ) ) )
1513, 14ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) )  -> 
( ( ( ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )  ->  F.  )  ->  ( ( ( ps 
->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  F.  )
)  ->  F.  )  ->  F.  ) )  -> 
( ( ( ps 
->  ph )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  ( (
( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) ) ) )
1612, 15ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) ) )
17 merco1lem9 1480 . . 3  |-  ( ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  ( ( ( ps  ->  ph )  -> 
( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) ) )  ->  (
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) ) )
1816, 17ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  ch )
)  ->  ( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  ch ) )  -> 
( ( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) ) )
195, 18ax-mp 8 1  |-  ( (
ph  ->  ( ps  ->  ch ) )  ->  (
( ps  ->  ph )  ->  ( ps  ->  ch ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    F. wfal 1308
This theorem is referenced by:  retbwax1  1490
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-tru 1310  df-fal 1311
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