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Theorem mercolem4 1495
Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2 1491. (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mercolem4  |-  ( ( th  ->  ( et  ->  ph ) )  -> 
( ( ( th 
->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) )

Proof of Theorem mercolem4
StepHypRef Expression
1 merco2 1491 . 2  |-  ( ( ( ph  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  ph ) )  ->  ( ( ph  ->  ph )  ->  ( ph  ->  ( ph  ->  ph ) ) ) )
2 merco2 1491 . . . 4  |-  ( ( ( ( et  ->  ph )  ->  ph )  -> 
( (  F.  ->  ph )  ->  th )
)  ->  ( ( th  ->  ( et  ->  ph ) )  ->  (
( ( th  ->  ch )  ->  ph )  -> 
( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) )
3 merco2 1491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  ( th  ->  ch ) ) )  ->  ( ( ( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) )
4 mercolem1 1492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  ( th  ->  ch ) ) )  ->  ( (
( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) )  ->  ( ( (  F.  ->  ph )  -> 
( th  ->  ch ) )  ->  (
( th  ->  ( et  ->  ph ) )  -> 
( ( ( th 
->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) ) )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  F.  ->  ph )  ->  ( th  ->  ch ) )  ->  (
( th  ->  ( et  ->  ph ) )  -> 
( ( ( th 
->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) )
6 mercolem1 1492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  F.  ->  ph )  ->  ( th  ->  ch ) )  -> 
( ( th  ->  ( et  ->  ph ) )  ->  ( ( ( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) )  ->  ( ( th  ->  ch )  -> 
( (  F.  ->  ph )  ->  ( ( th  ->  ( et  ->  ph ) )  ->  (
( ( th  ->  ch )  ->  ph )  -> 
( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) ) ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( th  ->  ch )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  ( ( th  ->  ( et  ->  ph ) )  ->  (
( ( th  ->  ch )  ->  ph )  -> 
( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) ) )
8 merco2 1491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  ->  ch )  ->  ( (  F. 
->  ph )  ->  (
( th  ->  ( et  ->  ph ) )  -> 
( ( ( th 
->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( th  ->  ( et  ->  ph ) )  -> 
( ( ( th 
->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) )  ->  th )  ->  ( ( ( et 
->  ph )  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  th )
) ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( th  ->  ( et  ->  ph ) )  ->  ( ( ( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) )  ->  th )  ->  (
( ( et  ->  ph )  ->  ph )  -> 
( (  F.  ->  ph )  ->  th )
) )
10 mercolem3 1494 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( th 
->  ( et  ->  ph )
)  ->  ( (
( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) )  ->  th )  ->  (
( ( et  ->  ph )  ->  ph )  -> 
( (  F.  ->  ph )  ->  th )
) )  ->  (
( ( ( th 
->  ( et  ->  ph )
)  ->  ( (
( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) )  ->  th )  ->  (
(  F.  ->  ph )  ->  ( ( ( et 
->  ph )  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  th )
) ) ) )
119, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( ( th  ->  ( et  ->  ph ) )  ->  ( ( ( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) )  ->  th )  ->  (
(  F.  ->  ph )  ->  ( ( ( et 
->  ph )  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  th )
) ) )
12 merco2 1491 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( th 
->  ( et  ->  ph )
)  ->  ( (
( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) )  ->  th )  ->  (
(  F.  ->  ph )  ->  ( ( ( et 
->  ph )  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  th )
) ) )  -> 
( ( ( ( ( et  ->  ph )  ->  ph )  ->  (
(  F.  ->  ph )  ->  th ) )  -> 
( ( th  ->  ( et  ->  ph ) )  ->  ( ( ( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) )  ->  ( (
( ( ph  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  ph )
)  ->  ( ( ph  ->  ph )  ->  ( ph  ->  ( ph  ->  ph ) ) ) )  ->  ( ( ( ( ph  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  ph ) )  ->  ( ( ph  ->  ph )  ->  ( ph  ->  ( ph  ->  ph ) ) ) )  ->  ( ( th 
->  ( et  ->  ph )
)  ->  ( (
( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) ) ) ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( et 
->  ph )  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  th )
)  ->  ( ( th  ->  ( et  ->  ph ) )  ->  (
( ( th  ->  ch )  ->  ph )  -> 
( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) )  ->  (
( ( ( ph  ->  ph )  ->  (
(  F.  ->  ph )  ->  ph ) )  -> 
( ( ph  ->  ph )  ->  ( ph  ->  ( ph  ->  ph )
) ) )  -> 
( ( ( (
ph  ->  ph )  ->  (
(  F.  ->  ph )  ->  ph ) )  -> 
( ( ph  ->  ph )  ->  ( ph  ->  ( ph  ->  ph )
) ) )  -> 
( ( th  ->  ( et  ->  ph ) )  ->  ( ( ( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) ) ) )
142, 13ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  ph )
)  ->  ( ( ph  ->  ph )  ->  ( ph  ->  ( ph  ->  ph ) ) ) )  ->  ( ( ( ( ph  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  ph ) )  ->  ( ( ph  ->  ph )  ->  ( ph  ->  ( ph  ->  ph ) ) ) )  ->  ( ( th 
->  ( et  ->  ph )
)  ->  ( (
( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) ) )
151, 14ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ( ( ph  ->  ph )  ->  ( (  F.  ->  ph )  ->  ph )
)  ->  ( ( ph  ->  ph )  ->  ( ph  ->  ( ph  ->  ph ) ) ) )  ->  ( ( th 
->  ( et  ->  ph )
)  ->  ( (
( th  ->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) ) )
161, 15ax-mp 8 1  |-  ( ( th  ->  ( et  ->  ph ) )  -> 
( ( ( th 
->  ch )  ->  ph )  ->  ( ta  ->  ( et  ->  ph ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    F. wfal 1308
This theorem is referenced by:  mercolem6  1497  mercolem7  1498
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-tru 1310  df-fal 1311
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