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Theorem merlem13 1409
Description: Step 35 of Meredith's proof of Lukasiewicz axioms from his sole axiom. (Contributed by NM, 14-Dec-2002.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
merlem13  |-  ( (
ph  ->  ps )  -> 
( ( ( th 
->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  ps ) )

Proof of Theorem merlem13
StepHypRef Expression
1 merlem12 1408 . . . . 5  |-  ( ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) )  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) )
2 merlem12 1408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  -.  -.  ph )
3 merlem5 1401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  -.  -.  ph )  ->  ( -.  -.  ( ( th 
->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  -.  -.  ph ) )
42, 3ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( -. 
-.  ( ( th 
->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  -.  -.  ph )
5 merlem6 1402 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch )
)  ->  -.  -.  ph )  ->  -.  -.  ph )  ->  ( ( ( ( -.  ( ( th 
->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  ps )  ->  ( -. 
-.  ( ( th 
->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  -.  -.  ph ) )  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )
)  ->  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )
) ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( -.  (
( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  ps )  ->  ( -.  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  -.  -.  ph ) )  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) )  -> 
( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) )
7 ax-meredith 1396 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  ps )  ->  ( -.  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  -.  -.  ph ) )  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) )  -> 
( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) )  ->  ( ( ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) )  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) )  -> 
( -.  ph  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) )  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) )  -> 
( -.  ph  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) )
91, 8ax-mp 8 . . . 4  |-  ( -. 
ph  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )
)
10 merlem6 1402 . . . 4  |-  ( ( -.  ph  ->  -.  (
( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) )  -> 
( ( ( ( ps  ->  ps )  ->  ( -.  ph  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) )  ->  ph )  ->  (
( ( ( ps 
->  ps )  ->  ( -.  ph  ->  -.  (
( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) )  ->  ph )  ->  ph )
) )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( ( ( ps  ->  ps )  ->  ( -.  ph 
->  -.  ( ( th 
->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) )  ->  ph )  -> 
( ( ( ( ps  ->  ps )  ->  ( -.  ph  ->  -.  ( ( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) )  ->  ph )  ->  ph )
)
12 merlem11 1407 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ps 
->  ps )  ->  ( -.  ph  ->  -.  (
( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) )  ->  ph )  ->  (
( ( ( ps 
->  ps )  ->  ( -.  ph  ->  -.  (
( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) )  ->  ph )  ->  ph )
)  ->  ( (
( ( ps  ->  ps )  ->  ( -.  ph 
->  -.  ( ( th 
->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) )  ->  ph )  ->  ph ) )
1311, 12ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ( ( ps  ->  ps )  ->  ( -.  ph 
->  -.  ( ( th 
->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) )  ->  ph )  ->  ph )
14 ax-meredith 1396 . 2  |-  ( ( ( ( ( ps 
->  ps )  ->  ( -.  ph  ->  -.  (
( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph ) ) )  ->  ph )  ->  ph )  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  ( (
( th  ->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  ps ) ) )
1513, 14ax-mp 8 1  |-  ( (
ph  ->  ps )  -> 
( ( ( th 
->  ( -.  -.  ch  ->  ch ) )  ->  -.  -.  ph )  ->  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4
This theorem is referenced by:  luk-1  1410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 8  ax-meredith 1396
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