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Theorem merlem9 1405
Description: Step 18 of Meredith's proof of Lukasiewicz axioms from his sole axiom. (Contributed by NM, 22-Dec-2002.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
merlem9  |-  ( ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) ) )  ->  ( et  ->  ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) ) ) )

Proof of Theorem merlem9
StepHypRef Expression
1 merlem6 1402 . . . 4  |-  ( ( th  ->  ( ps  ->  ta ) )  -> 
( ( ( ch 
->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) ) )
2 merlem8 1404 . . . 4  |-  ( ( ( th  ->  ( ps  ->  ta ) )  ->  ( ( ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) ) )  ->  (
( ( ( ps 
->  ta )  ->  ( -.  ( -.  ( ( ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) )  ->  -.  th )  ->  -.  ph ) )  ->  ( -.  (
( ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) )  ->  -.  th ) )  -> 
( ( ( ch 
->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( ( ( ps  ->  ta )  ->  ( -.  ( -.  ( (
( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) )  ->  -.  th )  ->  -.  ph ) )  ->  ( -.  (
( ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) )  ->  -.  th ) )  -> 
( ( ( ch 
->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) ) )
4 ax-meredith 1396 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ps 
->  ta )  ->  ( -.  ( -.  ( ( ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) )  ->  -.  th )  ->  -.  ph ) )  ->  ( -.  (
( ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) )  ->  -.  th ) )  -> 
( ( ( ch 
->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) ) )  ->  ( (
( ( ( ch 
->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) )  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ps )
) )
53, 4ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ( ( ( ch 
->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) )  ->  ps )  -> 
( ph  ->  ps )
)
6 ax-meredith 1396 . 2  |-  ( ( ( ( ( ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) )  ->  -.  et )  ->  ( -.  ps  ->  -.  et ) )  ->  ps )  ->  ( ph  ->  ps ) )  ->  (
( ( ph  ->  ps )  ->  ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) ) )  ->  ( et  ->  ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) ) ) ) )
75, 6ax-mp 8 1  |-  ( ( ( ph  ->  ps )  ->  ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) ) )  ->  ( et  ->  ( ch  ->  ( th  ->  ( ps  ->  ta ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4
This theorem is referenced by:  merlem10  1406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 8  ax-meredith 1396
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