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Theorem mertens 12665
Description: Mertens' thoerem. If  A (
j ) is an absolutely convergent series and  B ( k ) is convergent, then  ( sum_ j  e.  NN0 A ( j )  x.  sum_ k  e.  NN0 B ( k ) )  =  sum_ k  e. 
NN0 sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A ( j )  x.  B ( k  -  j ) ) (and this latter series is convergent). This latter sum is commonly known as the Cauchy product of the sequences. The proof follows the outline at http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product#Proof_of_Mertens.27_theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
mertens.2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
mertens.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
mertens.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
mertens.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
mertens.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
mertens.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  K )  e. 
dom 
~~>  )
mertens.8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
mertens  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( sum_ j  e.  NN0  A  x.  sum_ k  e.  NN0  B
) )
Distinct variable groups:    B, j    j, k, G    ph, j, k    A, k    j, K, k   
j, F    k, H
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)    F( k)    H( j)

Proof of Theorem mertens
Dummy variables  m  n  s  x  y 
z  i  l  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10522 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10295 . . 3  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 seqex 11327 . . 3  |-  seq  0
(  +  ,  H
)  e.  _V
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
_V )
6 mertens.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
7 fzfid 11314 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... k )  e. 
Fin )
8 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ph )
9 elfznn0 11085 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  j  e.  NN0 )
10 mertens.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
118, 9, 10syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  A  e.  CC )
12 fznn0sub 11087 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  -  j )  e.  NN0 )
1312adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  j )  e.  NN0 )
14 mertens.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
15 mertens.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
1614, 15eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
1716ralrimiva 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( G `  k )  e.  CC )
18 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  ( G `  k )  =  ( G `  i ) )
1918eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( G `  k
)  e.  CC  <->  ( G `  i )  e.  CC ) )
2019cbvralv 2934 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN0  ( G `
 k )  e.  CC  <->  A. i  e.  NN0  ( G `  i )  e.  CC )
2117, 20sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN0  ( G `  i )  e.  CC )
2221ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  A. i  e.  NN0  ( G `  i )  e.  CC )
23 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( k  -  j )  ->  ( G `  i )  =  ( G `  ( k  -  j
) ) )
2423eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( k  -  j )  ->  (
( G `  i
)  e.  CC  <->  ( G `  ( k  -  j
) )  e.  CC ) )
2524rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  -  j )  e.  NN0  ->  ( A. i  e.  NN0  ( G `
 i )  e.  CC  ->  ( G `  ( k  -  j
) )  e.  CC ) )
2613, 22, 25sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  ( k  -  j ) )  e.  CC )
2711, 26mulcld 9110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( A  x.  ( G `  ( k  -  j
) ) )  e.  CC )
287, 27fsumcl 12529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) )  e.  CC )
296, 28eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
301, 3, 29serf 11353 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H ) : NN0 --> CC )
3130ffvelrnda 5872 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
)  e.  CC )
32 mertens.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
3332adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  A )
34 mertens.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A ) )
3534adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  A
) )
3610adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
3714adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
3815adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
396adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
40 mertens.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  K )  e. 
dom 
~~>  )
4140adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  seq  0
(  +  ,  K
)  e.  dom  ~~>  )
42 mertens.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
4342adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  seq  0
(  +  ,  G
)  e.  dom  ~~>  )
44 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
45 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  ( G `  l )  =  ( G `  k ) )
4645cbvsumv 12492 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ l  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  k
)
47 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  n  ->  (
i  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
4847fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( i  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
4948sumeq1d 12497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  n  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
5046, 49syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  sum_ l  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
5150fveq2d 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  ( abs `  sum_ l  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
5251eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (
u  =  ( abs `  sum_ l  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l ) )  <->  u  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) ) )
5352cbvrexv 2935 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  ( 0 ... ( s  - 
1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ l  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `
 l ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) )
54 eqeq1 2444 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) )  <->  z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) ) ) )
5554rexbidv 2728 . . . . . . 7  |-  ( u  =  z  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) ) )
5653, 55syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( u  =  z  ->  ( E. i  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ l  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `
 l ) )  <->  E. n  e.  (
0 ... ( s  - 
1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) ) ) )
5756cbvabv 2557 . . . . 5  |-  { u  |  E. i  e.  ( 0 ... ( s  -  1 ) ) u  =  ( abs `  sum_ l  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  1 ) ) ( G `  l ) ) }  =  {
z  |  E. n  e.  ( 0 ... (
s  -  1 ) ) z  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) ) }
58 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( K `  i )  =  ( K `  j ) )
5958cbvsumv 12492 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  =  sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )
6059oveq1i 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `
 i )  +  1 )  =  (
sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 )
6160oveq2i 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  2 )  /  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  +  1 ) )  =  ( ( x  /  2
)  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `
 j )  +  1 ) )
6261breq2i 4222 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  i
) )  <  (
( x  /  2
)  /  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `
 i )  +  1 ) )  <->  ( abs ` 
sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) ( G `  i ) )  <  ( ( x  /  2 )  /  ( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) )
63 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  ( G `  i )  =  ( G `  k ) )
6463cbvsumv 12492 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  i
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  k
)
65 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  n  ->  (
u  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
6665fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( u  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
6766sumeq1d 12497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  n  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  k
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
6864, 67syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  n  ->  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1 ) ) ( G `  i
)  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( G `  k
) )
6968fveq2d 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  n  ->  ( abs `  sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) ( G `  i ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( G `  k ) ) )
7069breq1d 4224 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  n  ->  (
( abs `  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1
) ) ( G `
 i ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7162, 70syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( u  =  n  ->  (
( abs `  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( u  +  1
) ) ( G `
 i ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7271cbvralv 2934 . . . . . 6  |-  ( A. u  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) ( G `  i ) )  <  ( ( x  /  2 )  /  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  +  1 ) )  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) )
7372anbi2i 677 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  NN  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  s ) ( abs `  sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( u  + 
1 ) ) ( G `  i ) )  <  ( ( x  /  2 )  /  ( sum_ i  e.  NN0  ( K `  i )  +  1 ) ) )  <->  ( s  e.  NN  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  s )
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ( G `
 k ) )  <  ( ( x  /  2 )  / 
( sum_ j  e.  NN0  ( K `  j )  +  1 ) ) ) )
7433, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 57, 73mertenslem2 12664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
x )
75 eluznn0 10548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  y ) )  ->  m  e.  NN0 )
76 fzfid 11314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... m )  e. 
Fin )
77 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ph )
78 elfznn0 11085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 0 ... m )  ->  j  e.  NN0 )
7978adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  j  e.  NN0 )
801, 3, 14, 15, 42isumcl 12547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  NN0  B  e.  CC )
8180adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e. 
NN0  B  e.  CC )
8232, 10eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
8381, 82mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  e.  CC )
8477, 79, 83syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j
) )  e.  CC )
85 fzfid 11314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
0 ... ( m  -  j ) )  e. 
Fin )
86 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  ph )
8778ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  j  e.  NN0 )
8886, 87, 10syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  A  e.  CC )
89 elfznn0 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( m  -  j
) )  ->  k  e.  NN0 )
9089adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
9186, 90, 16syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
9288, 91mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  ( A  x.  ( G `  k
) )  e.  CC )
9385, 92fsumcl 12529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k ) )  e.  CC )
9476, 84, 93fsumsub 12573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `
 k ) ) ) )
9577, 79, 10syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  A  e.  CC )
9680ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  e.  CC )
9785, 91fsumcl 12529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( G `  k )  e.  CC )
9895, 96, 97subdid 9491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( A  x.  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) )  =  ( ( A  x.  sum_ k  e.  NN0  B )  -  ( A  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) ) )
99 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) )
100 fznn0sub 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 0 ... m )  ->  (
m  -  j )  e.  NN0 )
101100adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
m  -  j )  e.  NN0 )
102 peano2nn0 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  -  j )  e.  NN0  ->  ( ( m  -  j )  +  1 )  e. 
NN0 )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( m  -  j
)  +  1 )  e.  NN0 )
10477, 14sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  B )
10577, 15sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
10642ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
1071, 99, 103, 104, 105, 106isumsplit 12622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( ( m  -  j
)  +  1 )  -  1 ) ) B  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
108101nn0cnd 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
m  -  j )  e.  CC )
109 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
110 pncan 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( m  -  j
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( m  -  j )  +  1 )  -  1 )  =  ( m  -  j ) )
111108, 109, 110sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( ( m  -  j )  +  1 )  -  1 )  =  ( m  -  j ) )
112111oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
0 ... ( ( ( m  -  j )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
m  -  j ) ) )
113112sumeq1d 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( ( m  -  j )  +  1 )  -  1 ) ) B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) B )
11486, 90, 14syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) )  ->  ( G `  k )  =  B )
115114sumeq2dv 12499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( G `  k )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) B )
116113, 115eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( ( m  -  j )  +  1 )  -  1 ) ) B  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) )
117116oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( ( m  -  j )  +  1 )  - 
1 ) ) B  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
118107, 117eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  B  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
119118oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) )
120103nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( m  -  j
)  +  1 )  e.  ZZ )
121 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  ->  ph )
122 eluznn0 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( m  -  j )  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
123103, 122sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
124121, 123, 14syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  =  B )
125121, 123, 15syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
126104, 105eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
1271, 103, 126iserex 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  <->  seq  ( ( m  -  j )  +  1 ) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  ) )
128106, 127mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  seq  ( ( m  -  j )  +  1 ) (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
12999, 120, 124, 125, 128isumcl 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B  e.  CC )
13097, 129pncan2d 9415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B )
131119, 130eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B )
132131oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( A  x.  ( sum_ k  e.  NN0  B  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) )  =  ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
13310, 81mulcomd 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( A  x.  sum_ k  e.  NN0  B )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  A ) )
13432oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  A ) )
135133, 134eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( A  x.  sum_ k  e.  NN0  B )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
13677, 79, 135syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( A  x.  sum_ k  e. 
NN0  B )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
13785, 95, 91fsummulc2 12569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( A  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( G `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k )
) )
138136, 137oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( A  x.  sum_ k  e.  NN0  B )  -  ( A  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( G `  k ) ) )  =  ( ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `
 k ) ) ) )
13998, 132, 1383eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `
 k ) ) )  =  ( A  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
140139sumeq2dv 12499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
141 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  ( F `  n )  =  ( F `  j ) )
142141oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n
) )  =  (
sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
143 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) )
144 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  e.  _V
145142, 143, 144fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) `  j
)  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
14679, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) `
 j )  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) ) )
147 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
148147, 1syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
149146, 148, 84fsumser 12526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j )
)  =  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m ) )
150 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
151150oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( A  x.  ( G `  n ) )  =  ( A  x.  ( G `  k )
) )
152 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  -  j )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( k  -  j
) ) )
153152oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  -  j )  ->  ( A  x.  ( G `  n ) )  =  ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
15492anasss 630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
j  e.  ( 0 ... m )  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( G `  k
) )  e.  CC )
155151, 153, 154fsum0diag2 12568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k )
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
156 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ph )
157 elfznn0 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... m )  ->  k  e.  NN0 )
158157adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... m
) )  ->  k  e.  NN0 )
159156, 158, 6syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... m
) )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
160156, 158, 28syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... m
) )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) )  e.  CC )
161159, 148, 160fsumser 12526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( A  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) )  =  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) )
162155, 161eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `  k )
)  =  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) )
163149, 162oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... m ) (
sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  j ) )  -  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  -  j ) ) ( A  x.  ( G `
 k ) ) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )
16494, 140, 1633eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0
(  +  ,  H
) `  m )
)  =  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )
165164fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  =  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) ) )
166165breq1d 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0
(  +  ,  H
) `  m )
) )  <  x  <->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
16775, 166sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  y )
) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x  <->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( (
m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  < 
x ) )
168167anassrs 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  y )
)  ->  ( ( abs `  ( (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0
(  +  ,  H
) `  m )
) )  <  x  <->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
169168ralbidva 2723 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m
) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
170169rexbidva 2724 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
NN0  A. m  e.  (
ZZ>= `  y ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x  <->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
171170adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x  <->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y ) ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... m ) ( A  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( ( m  -  j )  +  1 ) ) B ) )  <  x ) )
17274, 171mpbird 225 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x )
173172ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN0  A. m  e.  ( ZZ>= `  y )
( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) ) `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  H ) `  m
) ) )  < 
x )
17432fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  =  ( abs `  A ) )
17534, 174eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( K `  j )  =  ( abs `  ( F `
 j ) ) )
1761, 3, 175, 82, 40abscvgcvg 12600 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
1771, 3, 32, 10, 176isumclim2 12544 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  F )  ~~>  sum_ j  e.  NN0  A )
17882ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN0  ( F `  j )  e.  CC )
179 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  ( F `  j )  =  ( F `  m ) )
180179eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  <->  ( F `  m )  e.  CC ) )
181180rspccva 3053 . . . . 5  |-  ( ( A. j  e.  NN0  ( F `  j )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
182178, 181sylan 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
183 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
184183oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n
) )  =  (
sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) ) )
185 ovex 6108 . . . . . 6  |-  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) )  e.  _V
186184, 143, 185fvmpt 5808 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) `  m
)  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) ) )
187186adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n ) ) ) `  m
)  =  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  m ) ) )
1881, 3, 80, 177, 182, 187isermulc2 12453 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) )  ~~>  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  sum_ j  e.  NN0  A
) )
1891, 3, 32, 10, 176isumcl 12547 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  A  e.  CC )
19080, 189mulcomd 9111 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  sum_ j  e.  NN0  A )  =  ( sum_ j  e.  NN0  A  x.  sum_ k  e.  NN0  B
) )
191188, 190breqtrd 4238 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( sum_ k  e.  NN0  B  x.  ( F `  n )
) ) )  ~~>  ( sum_ j  e.  NN0  A  x.  sum_ k  e.  NN0  B
) )
1921, 3, 5, 31, 173, 1912clim 12368 1  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( sum_ j  e.  NN0  A  x.  sum_ k  e.  NN0  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   ...cfz 11045    seq cseq 11325   abscabs 12041    ~~> cli 12280   sum_csu 12481
This theorem is referenced by:  efaddlem  12697
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482
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