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Theorem mertens 12665
 Description: Mertens' thoerem. If is an absolutely convergent series and is convergent, then (and this latter series is convergent). This latter sum is commonly known as the Cauchy product of the sequences. The proof follows the outline at http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product#Proof_of_Mertens.27_theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1
mertens.2
mertens.3
mertens.4
mertens.5
mertens.6
mertens.7
mertens.8
Assertion
Ref Expression
mertens
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem mertens
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10522 . 2
2 0z 10295 . . 3
32a1i 11 . 2
4 seqex 11327 . . 3
54a1i 11 . 2
6 mertens.6 . . . . 5
7 fzfid 11314 . . . . . 6
8 simpl 445 . . . . . . . 8
9 elfznn0 11085 . . . . . . . 8
10 mertens.3 . . . . . . . 8
118, 9, 10syl2an 465 . . . . . . 7
12 fznn0sub 11087 . . . . . . . . 9
1312adantl 454 . . . . . . . 8
14 mertens.4 . . . . . . . . . . . 12
15 mertens.5 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . 11
1716ralrimiva 2791 . . . . . . . . . 10
18 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
1918eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11
2019cbvralv 2934 . . . . . . . . . 10
2117, 20sylib 190 . . . . . . . . 9
2221ad2antrr 708 . . . . . . . 8
23 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10
2423eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
2524rspcv 3050 . . . . . . . 8
2613, 22, 25sylc 59 . . . . . . 7
2711, 26mulcld 9110 . . . . . 6
287, 27fsumcl 12529 . . . . 5
296, 28eqeltrd 2512 . . . 4
301, 3, 29serf 11353 . . 3
3130ffvelrnda 5872 . 2
32 mertens.1 . . . . . 6
3332adantlr 697 . . . . 5
34 mertens.2 . . . . . 6
3534adantlr 697 . . . . 5
3610adantlr 697 . . . . 5
3714adantlr 697 . . . . 5
3815adantlr 697 . . . . 5
396adantlr 697 . . . . 5
40 mertens.7 . . . . . 6
4140adantr 453 . . . . 5
42 mertens.8 . . . . . 6
4342adantr 453 . . . . 5
44 simpr 449 . . . . 5
45 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
4645cbvsumv 12492 . . . . . . . . . . 11
47 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . 13
4847fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12
4948sumeq1d 12497 . . . . . . . . . . 11
5046, 49syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10
5150fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
5251eqeq2d 2449 . . . . . . . 8
5352cbvrexv 2935 . . . . . . 7
54 eqeq1 2444 . . . . . . . 8
5554rexbidv 2728 . . . . . . 7
5653, 55syl5bb 250 . . . . . 6
5756cbvabv 2557 . . . . 5
58 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
5958cbvsumv 12492 . . . . . . . . . . 11
6059oveq1i 6093 . . . . . . . . . 10
6160oveq2i 6094 . . . . . . . . 9
6261breq2i 4222 . . . . . . . 8
63 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
6463cbvsumv 12492 . . . . . . . . . . 11
65 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . 13
6665fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12
6766sumeq1d 12497 . . . . . . . . . . 11
6864, 67syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10
6968fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
7069breq1d 4224 . . . . . . . 8
7162, 70syl5bb 250 . . . . . . 7
7271cbvralv 2934 . . . . . 6
7372anbi2i 677 . . . . 5
7433, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 57, 73mertenslem2 12664 . . . 4
75 eluznn0 10548 . . . . . . . . 9
76 fzfid 11314 . . . . . . . . . . . . 13
77 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . 14
78 elfznn0 11085 . . . . . . . . . . . . . . 15
7978adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
801, 3, 14, 15, 42isumcl 12547 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8180adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
8232, 10eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15
8381, 82mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . 14
8477, 79, 83syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
85 fzfid 11314 . . . . . . . . . . . . . 14
86 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8778ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8886, 87, 10syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 elfznn0 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9089adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9186, 90, 16syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
9288, 91mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . 14
9385, 92fsumcl 12529 . . . . . . . . . . . . 13
9476, 84, 93fsumsub 12573 . . . . . . . . . . . 12
9577, 79, 10syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
9680ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15
9785, 91fsumcl 12529 . . . . . . . . . . . . . . 15
9895, 96, 97subdid 9491 . . . . . . . . . . . . . 14
99 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
100 fznn0sub 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
101100adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102 peano2nn0 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10477, 14sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10577, 15sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10642ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1071, 99, 103, 104, 105, 106isumsplit 12622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108101nn0cnd 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
109 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
110 pncan 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
111108, 109, 110sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
112111oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
113112sumeq1d 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11486, 90, 14syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
115114sumeq2dv 12499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116113, 115eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117116oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118107, 117eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119118oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120103nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
122 eluznn0 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123103, 122sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124121, 123, 14syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125121, 123, 15syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126104, 105eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1271, 103, 126iserex 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128106, 127mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12999, 120, 124, 125, 128isumcl 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13097, 129pncan2d 9415 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131119, 130eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15
132131oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14
13310, 81mulcomd 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13432oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135133, 134eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13677, 79, 135syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
13785, 95, 91fsummulc2 12569 . . . . . . . . . . . . . . 15
138136, 137oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14
13998, 132, 1383eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . . . . 13
140139sumeq2dv 12499 . . . . . . . . . . . 12
141 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142141oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145142, 143, 144fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . . . 15
14679, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
147 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
148147, 1syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . 14
149146, 148, 84fsumser 12526 . . . . . . . . . . . . 13
150 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151150oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15
152 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153152oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15
15492anasss 630 . . . . . . . . . . . . . . 15
155151, 153, 154fsum0diag2 12568 . . . . . . . . . . . . . 14
156 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
157 elfznn0 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
158157adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
159156, 158, 6syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
160156, 158, 28syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
161159, 148, 160fsumser 12526 . . . . . . . . . . . . . 14
162155, 161eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13
163149, 162oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12
16494, 140, 1633eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . . 11
165164fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10
166165breq1d 4224 . . . . . . . . 9
16775, 166sylan2 462 . . . . . . . 8
168167anassrs 631 . . . . . . 7
169168ralbidva 2723 . . . . . 6
170169rexbidva 2724 . . . . 5
171170adantr 453 . . . 4
17274, 171mpbird 225 . . 3
173172ralrimiva 2791 . 2
17432fveq2d 5734 . . . . . . 7
17534, 174eqtr4d 2473 . . . . . 6
1761, 3, 175, 82, 40abscvgcvg 12600 . . . . 5
1771, 3, 32, 10, 176isumclim2 12544 . . . 4
17882ralrimiva 2791 . . . . 5
179 fveq2 5730 . . . . . . 7
180179eleq1d 2504 . . . . . 6
181180rspccva 3053 . . . . 5
182178, 181sylan 459 . . . 4
183 fveq2 5730 . . . . . . 7
184183oveq2d 6099 . . . . . 6
185 ovex 6108 . . . . . 6
186184, 143, 185fvmpt 5808 . . . . 5
187186adantl 454 . . . 4
1881, 3, 80, 177, 182, 187isermulc2 12453 . . 3
1891, 3, 32, 10, 176isumcl 12547 . . . 4
19080, 189mulcomd 9111 . . 3
191188, 190breqtrd 4238 . 2
1921, 3, 5, 31, 173, 1912clim 12368 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cdm 4880  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   clt 9122   cmin 9293   cdiv 9679  cn 10002  c2 10051  cn0 10223  cz 10284  cuz 10490  crp 10614  cfz 11045   cseq 11325  cabs 12041   cli 12280  csu 12481 This theorem is referenced by:  efaddlem  12697 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482
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