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Theorem met1stc 18083
Description: The topology generated by a metric space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
met1stc  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  1stc )

Proof of Theorem met1stc
Dummy variables  n  r  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 18002 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
31mopnuni 18003 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
43eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
54biimpar 471 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  X )
6 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  X )
8 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
98adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
109rpreccld 10416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
1110rpxrd 10407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR* )
121blopn 18062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  e.  J )
136, 7, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e.  J )
14 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )
1513, 14fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) : NN --> J )
16 frn 5411 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) : NN --> J  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  C_  J )
1715, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) 
C_  J )
18 nnex 9768 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
1918mptex 5762 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
2019rnex 4958 . . . . . . 7  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
2120elpw 3644 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  e.  ~P J  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  C_  J )
2217, 21sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  ~P J )
23 omelon 7363 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
24 nnenom 11058 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
2524ensymi 6927 . . . . . . . . 9  |-  om  ~~  NN
26 isnumi 7595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
2723, 25, 26mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  dom  card
28 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e. 
_V
2928, 14fnmpti 5388 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  Fn  NN
30 dffn4 5473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  Fn  NN  <->  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) : NN -onto-> ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) )
3129, 30mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) : NN -onto-> ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
32 fodomnum 7700 . . . . . . . 8  |-  ( NN  e.  dom  card  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) : NN -onto-> ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  NN ) )
3327, 31, 32mp2 17 . . . . . . 7  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  NN
34 domentr 6936 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  NN 
/\  NN  ~~  om )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  om )
3533, 24, 34mp2an 653 . . . . . 6  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om
3635a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om )
37 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
38 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  z  e.  J )
39 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  z )
401mopni2 18055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  z  e.  J  /\  x  e.  z
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  z
)
4137, 38, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  z
)
42 elrp 10372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  <->  ( r  e.  RR  /\  0  < 
r ) )
43 nnrecl 9979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  RR  /\  0  <  r )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  r )
4442, 43sylbi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  r
)
4544ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  r )
4637ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
47 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
4847ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  x  e.  X )
49 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  y  e.  NN )
5049nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  y  e.  RR+ )
5150rpreccld 10416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
52 blcntr 17980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) ) )
5346, 48, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )
5451rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e. 
RR* )
55 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR+ )
5655rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR* )
57 nnrecre 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  y )  e.  RR )
5857ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
5955rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR )
60 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  < 
r )
6158, 59, 60ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  <_ 
r )
62 ssbl 17987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
( 1  /  y
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  (
1  /  y )  <_  r )  -> 
( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )
6346, 48, 54, 56, 61, 62syl221anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
64 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
r )  C_  z
)
6563, 64sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
)
6653, 65jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
6766expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
y )  <  r  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
6867reximdva 2668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  r  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
6945, 68mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) )
7069expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
x ( ball `  D
) r )  C_  z  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
7170rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  ( E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
7241, 71mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
73 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  e. 
_V
7473a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  y  e.  NN )  ->  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  e. 
_V )
75 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
_V
76 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
y ) )
7776oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  =  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )
7877cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  =  ( y  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) ) )
7978elrnmpt 4942 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  <->  E. y  e.  NN  w  =  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) ) ) )
8075, 79mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  ( w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  <->  E. y  e.  NN  w  =  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) ) ) )
81 eleq2 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) ) )
82 sseq1 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
w  C_  z  <->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
8381, 82anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
8483adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  w  =  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )  ->  ( (
x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) ) )
8574, 80, 84rexxfr2d 4567 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  ( E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
8672, 85mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )
8786expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  J )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8887ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
89 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om ) )
90 rexeq 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
9190imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9291ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9389, 92anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  om 
/\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
9493rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  e. 
~P J  /\  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9522, 36, 88, 94syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
965, 95syldan 456 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  U. J )  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9796ralrimiva 2639 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  A. x  e.  U. J E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
98 eqid 2296 . . 3  |-  U. J  =  U. J
9998is1stc2 17184 . 2  |-  ( J  e.  1stc  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
1002, 97, 99sylanbrc 645 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  1stc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Oncon0 4408   omcom 4672   dom cdm 4705   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877   cardccrd 7584   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   RR+crp 10370   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388   Topctop 16647   1stcc1stc 17179
This theorem is referenced by:  metelcls  18746  metcnp4  18751  metcn4  18752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-card 7588  df-acn 7591  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-1stc 17181
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