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Theorem met1stc 18553
Description: The topology generated by a metric space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
met1stc  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  1stc )

Proof of Theorem met1stc
Dummy variables  n  r  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 18472 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
31mopnuni 18473 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
43eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
54biimpar 473 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  X )
6 simpll 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  X )
8 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
98adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
109rpreccld 10660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
1110rpxrd 10651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR* )
121blopn 18532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  e.  J )
136, 7, 11, 12syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e.  J )
14 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )
1513, 14fmptd 5895 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) : NN --> J )
16 frn 5599 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) : NN --> J  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  C_  J )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) 
C_  J )
18 nnex 10008 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
1918mptex 5968 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
2019rnex 5135 . . . . . . 7  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
2120elpw 3807 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  e.  ~P J  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  C_  J )
2217, 21sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  e.  ~P J )
23 omelon 7603 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
24 nnenom 11321 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
2524ensymi 7159 . . . . . . . . 9  |-  om  ~~  NN
26 isnumi 7835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
2723, 25, 26mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  dom  card
28 ovex 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e. 
_V
2928, 14fnmpti 5575 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  Fn  NN
30 dffn4 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  Fn  NN  <->  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) : NN -onto-> ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) )
3129, 30mpbi 201 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) : NN -onto-> ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
32 fodomnum 7940 . . . . . . . 8  |-  ( NN  e.  dom  card  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) : NN -onto-> ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  NN ) )
3327, 31, 32mp2 9 . . . . . . 7  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  NN
34 domentr 7168 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  NN 
/\  NN  ~~  om )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  om )
3533, 24, 34mp2an 655 . . . . . 6  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om
3635a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om )
37 simpll 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
38 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  z  e.  J )
39 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  z )
401mopni2 18525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  z  e.  J  /\  x  e.  z
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  z
)
4137, 38, 39, 40syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  z
)
42 elrp 10616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  <->  ( r  e.  RR  /\  0  < 
r ) )
43 nnrecl 10221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  RR  /\  0  <  r )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  r )
4442, 43sylbi 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  r
)
4544ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  r )
46 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
47 simp-4r 745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  x  e.  X )
48 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  y  e.  NN )
4948nnrpd 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  y  e.  RR+ )
5049rpreccld 10660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
51 blcntr 18445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) ) )
5246, 47, 50, 51syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )
5350rpxrd 10651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e. 
RR* )
54 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR+ )
5554rpxrd 10651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR* )
56 nnrecre 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  y )  e.  RR )
5756ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
5854rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  r  e.  RR )
59 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  < 
r )
6057, 58, 59ltled 9223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( 1  /  y )  <_ 
r )
61 ssbl 18455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
( 1  /  y
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  (
1  /  y )  <_  r )  -> 
( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )
6246, 47, 53, 55, 60, 61syl221anc 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
63 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
r )  C_  z
)
6462, 63sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
)
6552, 64jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  ( 1  /  y
)  <  r )
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
6665expr 600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( 1  / 
y )  <  r  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
6766reximdva 2820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  -> 
( E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  r  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
6845, 67mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) )
6941, 68rexlimddv 2836 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. y  e.  NN  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
70 ovex 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  y  e.  NN )  ->  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  e. 
_V )
72 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
_V
73 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  y  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
y ) )
7473oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  y  ->  (
x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  =  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )
7574cbvmptv 4302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  =  ( y  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) ) )
7675elrnmpt 5119 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  <->  E. y  e.  NN  w  =  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) ) ) )
7772, 76mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  ( w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  <->  E. y  e.  NN  w  =  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) ) ) )
78 eleq2 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) ) )
79 sseq1 3371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
w  C_  z  <->  ( x
( ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) )
8078, 79anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( x  e.  ( x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
8180adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  /\  w  =  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) )  ->  ( (
x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) )  /\  ( x (
ball `  D )
( 1  /  y
) )  C_  z
) ) )
8271, 77, 81rexxfr2d 4742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  ( E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. y  e.  NN  ( x  e.  (
x ( ball `  D
) ( 1  / 
y ) )  /\  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  y ) ) 
C_  z ) ) )
8369, 82mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
z  e.  J  /\  x  e.  z )
)  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )
8483expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  J )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8584ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
86 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om ) )
87 rexeq 2907 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8887imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8988ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9086, 89anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( y  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ~<_  om 
/\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
9190rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  e. 
~P J  /\  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( x ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( x (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9222, 36, 85, 91syl12anc 1183 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
935, 92syldan 458 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  U. J )  ->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9493ralrimiva 2791 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  A. x  e.  U. J E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
95 eqid 2438 . . 3  |-  U. J  =  U. J
9695is1stc2 17507 . 2  |-  ( J  e.  1stc  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
972, 94, 96sylanbrc 647 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  1stc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   Oncon0 4583   omcom 4847   dom cdm 4880   ran crn 4881    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -onto->wfo 5454   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ~~ cen 7108    ~<_ cdom 7109   cardccrd 7824   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    / cdiv 9679   NNcn 10002   RR+crp 10614   * Metcxmt 16688   ballcbl 16690   MetOpencmopn 16693   Topctop 16960   1stcc1stc 17502
This theorem is referenced by:  metelcls  19259  metcnp4  19264  metcn4  19265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-card 7828  df-acn 7831  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-1stc 17504
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