MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met2ndc Unicode version

Theorem met2ndc 18171
Description: A metric space is second-countable iff it is separable (has a countable dense subset). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
met2ndc  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, D    x, J    x, X

Proof of Theorem met2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
212ndcsep 17291 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  U. J ( x  ~<_  om  /\  (
( cls `  J
) `  x )  =  U. J ) )
3 methaus.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopnuni 18089 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
54pweqd 3706 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ~P X  =  ~P U. J
)
64eqeq2d 2369 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  =  X  <->  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  U. J
) )
76anbi2d 684 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  x )  =  X )  <->  ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  U. J
) ) )
85, 7rexeqbidv 2825 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X )  <->  E. x  e.  ~P  U. J ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  U. J
) ) )
92, 8syl5ibr 212 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
10 elpwi 3709 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
113met2ndci 18170 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  C_  X  /\  x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  x )  =  X ) )  ->  J  e.  2ndc )
12113exp2 1169 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  C_  X  ->  ( x  ~<_  om  ->  ( ( ( cls `  J
) `  x )  =  X  ->  J  e. 
2ndc ) ) ) )
1312imp4a 572 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  C_  X  ->  ( ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  x )  =  X )  ->  J  e.  2ndc ) ) )
1410, 13syl5 28 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  e.  ~P X  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X )  ->  J  e.  2ndc ) ) )
1514rexlimdv 2742 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X )  ->  J  e.  2ndc ) )
169, 15impbid 183 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   U.cuni 3908   class class class wbr 4104   omcom 4738   ` cfv 5337    ~<_ cdom 6949   * Metcxmt 16468   MetOpencmopn 16473   clsccl 16861   2ndcc2ndc 17270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cc 8151  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-acn 7665  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-topgen 13443  df-xmet 16475  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-2ndc 17272
  Copyright terms: Public domain W3C validator