MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met2ndc Structured version   Unicode version

Theorem met2ndc 18558
Description: A metric space is second-countable iff it is separable (has a countable dense subset). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
met2ndc  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, D    x, J    x, X

Proof of Theorem met2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
212ndcsep 17527 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  U. J ( x  ~<_  om  /\  (
( cls `  J
) `  x )  =  U. J ) )
3 methaus.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopnuni 18476 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
54pweqd 3806 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ~P X  =  ~P U. J
)
64eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( ( cls `  J
) `  x )  =  X  <->  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  U. J
) )
76anbi2d 686 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  x )  =  X )  <->  ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  U. J
) ) )
85, 7rexeqbidv 2919 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X )  <->  E. x  e.  ~P  U. J ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  U. J
) ) )
92, 8syl5ibr 214 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
10 elpwi 3809 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
113met2ndci 18557 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  C_  X  /\  x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  x )  =  X ) )  ->  J  e.  2ndc )
12113exp2 1172 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  C_  X  ->  ( x  ~<_  om  ->  ( ( ( cls `  J
) `  x )  =  X  ->  J  e. 
2ndc ) ) ) )
1312imp4a 574 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  C_  X  ->  ( ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  x )  =  X )  ->  J  e.  2ndc ) ) )
1410, 13syl5 31 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  e.  ~P X  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X )  ->  J  e.  2ndc ) ) )
1514rexlimdv 2831 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X )  ->  J  e.  2ndc ) )
169, 15impbid 185 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   class class class wbr 4215   omcom 4848   ` cfv 5457    ~<_ cdom 7110   * Metcxmt 16691   MetOpencmopn 16696   clsccl 17087   2ndcc2ndc 17506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cc 8320  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-2ndc 17508
  Copyright terms: Public domain W3C validator