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Theorem met2ndci 18544
Description: A separable metric space (a metric space with a countable dense subset) is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
met2ndci  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  J  e.  2ndc )

Proof of Theorem met2ndci
Dummy variables  n  r  t  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 18462 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  J  e.  Top )
4 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
5 simplr1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  A  C_  X )
6 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  A )
75, 6sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  X )
8 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  NN )
98nnrpd 10639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  RR+ )
109rpreccld 10650 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( 1  /  x
)  e.  RR+ )
1110rpxrd 10641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( 1  /  x
)  e.  RR* )
121blopn 18522 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( 1  /  x
)  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) )  e.  J )
134, 7, 11, 12syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) )  e.  J )
1413ralrimivva 2790 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  A. x  e.  NN  A. y  e.  A  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) )  e.  J )
15 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) )
1615fmpt2 6410 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  NN  A. y  e.  A  ( y
( ball `  D )
( 1  /  x
) )  e.  J  <->  ( x  e.  NN , 
y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) : ( NN  X.  A ) --> J )
1714, 16sylib 189 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) : ( NN 
X.  A ) --> J )
18 frn 5589 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN , 
y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) : ( NN  X.  A ) --> J  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  C_  J )
1917, 18syl 16 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  C_  J )
20 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
21 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  ->  u  e.  J )
22 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  -> 
z  e.  u )
231mopni2 18515 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  J  /\  z  e.  u
)  ->  E. r  e.  RR+  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)
2420, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
z ( ball `  D
) r )  C_  u )
25 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( z ( ball `  D ) r ) 
C_  u ) )  ->  r  e.  RR+ )
2625rphalfcld 10652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( z ( ball `  D ) r ) 
C_  u ) )  ->  ( r  / 
2 )  e.  RR+ )
27 elrp 10606 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  <->  ( ( r  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( r  /  2
) ) )
28 nnrecl 10211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  /  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( r  / 
2 ) )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  ( r  /  2 ) )
2927, 28sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
r  /  2 ) )
3026, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( z ( ball `  D ) r ) 
C_  u ) )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  ( r  /  2 ) )
313ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  J  e.  Top )
32 simpr1 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  A  C_  X )
3332ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  A  C_  X
)
341mopnuni 18463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
3534ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  X  =  U. J )
3633, 35sseqtrd 3376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  A  C_  U. J
)
37 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  z  e.  u
)
38 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  u  e.  J
)
39 elunii 4012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  u  /\  u  e.  J )  ->  z  e.  U. J
)
4037, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  z  e.  U. J )
4140, 35eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  z  e.  X
)
42 simpr3 965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  =  X )
4342ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X )
4441, 43eleqtrrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  z  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
4520adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
46 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  n  e.  NN )
4746nnrpd 10639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
4847rpreccld 10650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
4948rpxrd 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR* )
501blopn 18522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR* )  ->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  e.  J )
5145, 41, 49, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  e.  J
)
52 blcntr 18435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR+ )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
5345, 41, 48, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
54 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
5554clsndisj 17131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J  /\  z  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) )  /\  ( ( z (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  e.  J  /\  z  e.  (
z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) )  ->  ( (
z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  i^i 
A )  =/=  (/) )
5631, 36, 44, 51, 53, 55syl32anc 1192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( ( z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  i^i 
A )  =/=  (/) )
57 n0 3629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A )  =/=  (/) 
<->  E. t  t  e.  ( ( z (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  i^i  A
) )
5856, 57sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  E. t  t  e.  ( ( z (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  i^i  A
) )
5946adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  n  e.  NN )
60 inss2 3554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  i^i 
A )  C_  A
61 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )
6260, 61sseldi 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  t  e.  A
)
63 eqidd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  =  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
64 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  n  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  /  n ) )
6564oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  n  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )
6665eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  (
( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) )  <->  ( t
( ball `  D )
( 1  /  n
) )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) )
67 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  =  ( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )
6867eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  <->  ( t
( ball `  D )
( 1  /  n
) )  =  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) )
6966, 68rspc2ev 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  t  e.  A  /\  ( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  =  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  A  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )
7059, 62, 63, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  A  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )
71 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e. 
_V
72 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  ->  (
z  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) )  <->  ( t
( ball `  D )
( 1  /  n
) )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) )
73722rexbidv 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  ->  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  A  z  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) )  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  A  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) )
7415rnmpt2 6172 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
x  e.  NN , 
y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) )  =  { z  |  E. x  e.  NN  E. y  e.  A  z  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) }
7571, 73, 74elab2 3077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e. 
ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) )  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  A  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) )
7670, 75sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) )
77 inss1 3553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  i^i 
A )  C_  (
z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )
7877, 61sseldi 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  t  e.  ( z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
7945adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
8049adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR* )
8141adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  z  e.  X
)
8233adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  A  C_  X
)
8382, 62sseldd 3341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  t  e.  X
)
84 blcom 18416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( 1  /  n )  e. 
RR* )  /\  (
z  e.  X  /\  t  e.  X )
)  ->  ( t  e.  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  <-> 
z  e.  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) )
8579, 80, 81, 83, 84syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t  e.  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  <-> 
z  e.  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) )
8678, 85mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  z  e.  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
87 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
8887adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  r  e.  RR+ )
8988rphalfcld 10652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( r  / 
2 )  e.  RR+ )
9089rpxrd 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( r  / 
2 )  e.  RR* )
91 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  <  (
r  /  2 ) )
9287rphalfcld 10652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( r  / 
2 )  e.  RR+ )
93 rpre 10610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  n )  e.  RR+  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
94 rpre 10610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
95 ltle 9155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
)  ->  ( 1  /  n )  <_ 
( r  /  2
) ) )
9693, 94, 95syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR+  /\  (
r  /  2 )  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  n
)  <  ( r  /  2 )  -> 
( 1  /  n
)  <_  ( r  /  2 ) ) )
9748, 92, 96syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
)  ->  ( 1  /  n )  <_ 
( r  /  2
) ) )
9891, 97mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  <_  (
r  /  2 ) )
9998adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( 1  /  n )  <_  (
r  /  2 ) )
100 ssbl 18445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  t  e.  X )  /\  (
( 1  /  n
)  e.  RR*  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  /\  (
1  /  n )  <_  ( r  / 
2 ) )  -> 
( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) 
C_  ( t (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )
10179, 83, 80, 90, 99, 100syl221anc 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  C_  (
t ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
10288rpred 10640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  r  e.  RR )
103101, 86sseldd 3341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  z  e.  ( t ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
104 blhalf 18427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  t  e.  X )  /\  (
r  e.  RR  /\  z  e.  ( t
( ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
z ( ball `  D
) r ) )
10579, 83, 102, 103, 104syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
z ( ball `  D
) r ) )
106 simprlr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)
107106adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)
108105, 107sstrd 3350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  u
)
109101, 108sstrd 3350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  C_  u
)
110 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  ( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) )
111 sseq1 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  ->  (
w  C_  u  <->  ( t
( ball `  D )
( 1  /  n
) )  C_  u
) )
112110, 111anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  u )  <-> 
( z  e.  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  /\  ( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) 
C_  u ) ) )
113112rspcev 3044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) )  /\  ( z  e.  ( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  /\  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  C_  u
) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
11476, 86, 109, 113syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
11558, 114exlimddv 1648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
116115anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( z ( ball `  D ) r ) 
C_  u ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
11730, 116rexlimddv 2826 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( z ( ball `  D ) r ) 
C_  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
11824, 117rexlimddv 2826 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
119118ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  A. u  e.  J  A. z  e.  u  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
120 basgen2 17046 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  C_  J  /\  A. u  e.  J  A. z  e.  u  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )  ->  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) ) )  =  J )
1213, 19, 119, 120syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) )  =  J )
122121, 3eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) )  e.  Top )
123 tgclb 17027 . . . 4  |-  ( ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  e.  TopBases  <->  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) ) )  e.  Top )
124122, 123sylibr 204 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  e.  TopBases )
125 omelon 7593 . . . . . 6  |-  om  e.  On
126 simpr2 964 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  A  ~<_  om )
127 nnex 9998 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
128127xpdom2 7195 . . . . . . . 8  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( NN  X.  A )  ~<_  ( NN 
X.  om ) )
129126, 128syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( NN  X.  A
)  ~<_  ( NN  X.  om ) )
130 nnenom 11311 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
131 omex 7590 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
132131enref 7132 . . . . . . . . 9  |-  om  ~~  om
133 xpen 7262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN  ~~  om  /\  om 
~~  om )  ->  ( NN  X.  om )  ~~  ( om  X.  om )
)
134130, 132, 133mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
X.  om )  ~~  ( om  X.  om )
135 xpomen 7889 . . . . . . . 8  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
136134, 135entri 7153 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  om )  ~~  om
137 domentr 7158 . . . . . . 7  |-  ( ( ( NN  X.  A
)  ~<_  ( NN  X.  om )  /\  ( NN  X.  om )  ~~  om )  ->  ( NN  X.  A )  ~<_  om )
138129, 136, 137sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( NN  X.  A
)  ~<_  om )
139 ondomen 7910 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( NN  X.  A
)  ~<_  om )  ->  ( NN  X.  A )  e. 
dom  card )
140125, 138, 139sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( NN  X.  A
)  e.  dom  card )
141 ffn 5583 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN , 
y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) : ( NN  X.  A ) --> J  -> 
( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  Fn  ( NN 
X.  A ) )
14217, 141syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  Fn  ( NN 
X.  A ) )
143 dffn4 5651 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN , 
y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) )  Fn  ( NN  X.  A )  <->  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) ) : ( NN  X.  A
) -onto-> ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) ) )
144142, 143sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) : ( NN 
X.  A ) -onto-> ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) )
145 fodomnum 7930 . . . . 5  |-  ( ( NN  X.  A )  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) : ( NN 
X.  A ) -onto-> ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) )  ~<_  ( NN  X.  A
) ) )
146140, 144, 145sylc 58 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  ~<_  ( NN  X.  A ) )
147 domtr 7152 . . . 4  |-  ( ( ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) )  ~<_  ( NN  X.  A )  /\  ( NN  X.  A )  ~<_  om )  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) )  ~<_  om )
148146, 138, 147syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  ~<_  om )
149 2ndci 17503 . . 3  |-  ( ( ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) )  e.  TopBases 
/\  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) )  ~<_  om )  ->  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) ) )  e.  2ndc )
150124, 148, 149syl2anc 643 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) )  e.  2ndc )
151121, 150eqeltrrd 2510 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  J  e.  2ndc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   Oncon0 4573   omcom 4837    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -onto->wfo 5444   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099   cardccrd 7814   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   RR+crp 10604   topGenctg 13657   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680   MetOpencmopn 16683   Topctop 16950   TopBasesctb 16954   clsccl 17074   2ndcc2ndc 17493
This theorem is referenced by:  met2ndc  18545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-2ndc 17495
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