Theorem metcl 7811

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
metcl	|- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. RR)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foprrn 4035	. 2 |- ((D:(X X. X)-->RR /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. RR)
2		metf.1	. . 3 |- X = dom dom D
3	2	metf 7807	. 2 |- (D e. Met -> D:(X X. X)-->RR)
4	1, 3	syl3an1 859	1 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   X. cxp 3168  dom cdm 3170  -->wf 3178  (class class class)co 3963  RRcr 5233  Metcme 7789

This theorem is referenced by:  metsym 7816  metge0 7819  metgt0 7820  metxplem1 7826  metxplem2 7827  metxplem3 7828  metxp 7834  bl2in 7843  blin 7852  blss 7853  ssbl 7855  methausi 7881  metcnpi3 7892  metcnpi4 7893  metcni2 7895  lmnn 7935  iscau3 7938  iscau4 7940  lmuni 7951  lmle 7960  xplmi 7973  xpcn 7976  lmcau 7996  bcthlem20 8018  bcthlem21 8019  bcthlem24 8022  bcthlem25 8023  blocni 8465

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-met 7793

Copyright terms: Public domain