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Theorem metcnp 18563
Description: Two ways to say a mapping from metric  C to metric  D is continuous at point  P. (Contributed by NM, 11-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnp  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( P C w )  < 
z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, w, z, F    w, J, y, z    w, K, y, z    w, X, y, z    w, Y, y, z    w, C, y, z    w, D, y, z    w, P, y, z

Proof of Theorem metcnp
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
2 metcn.4 . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
31, 2metcnp3 18562 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
4 ffun 5585 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
54ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  Fun  F )
6 simpll1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
7 simpll3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  P  e.  X )
8 rpxr 10611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e. 
RR* )
98ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  z  e.  RR* )
10 blssm 18440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  C ) z ) 
C_  X )
116, 7, 9, 10syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( P
( ball `  C )
z )  C_  X
)
12 fdm 5587 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
1312ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  dom  F  =  X )
1411, 13sseqtr4d 3377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( P
( ball `  C )
z )  C_  dom  F )
15 funimass4 5769 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  ( P ( ball `  C
) z )  C_  dom  F )  ->  (
( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  <->  A. w  e.  ( P ( ball `  C ) z ) ( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) ) )
165, 14, 15syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  <->  A. w  e.  ( P ( ball `  C
) z ) ( F `  w )  e.  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )
17 elbl 18410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  RR* )  ->  ( w  e.  ( P ( ball `  C
) z )  <->  ( w  e.  X  /\  ( P C w )  < 
z ) ) )
186, 7, 9, 17syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( w  e.  ( P ( ball `  C ) z )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( P C w )  <  z ) ) )
1918imbi1d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( (
w  e.  ( P ( ball `  C
) z )  -> 
( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) )  <-> 
( ( w  e.  X  /\  ( P C w )  < 
z )  ->  ( F `  w )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) ) )
20 impexp 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  e.  X  /\  ( P C w )  <  z )  ->  ( F `  w )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y ) )  <-> 
( w  e.  X  ->  ( ( P C w )  <  z  ->  ( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) ) ) )
21 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  D  e.  ( * Met `  Y
) )
23 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  y  e.  RR+ )
2423rpxrd 10641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  y  e.  RR* )
25 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  F : X --> Y )
267adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  P  e.  X )
2725, 26ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  P )  e.  Y )
28 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  F : X
--> Y )
2928ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w )  e.  Y )
30 elbl2 18412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  y  e.  RR* )  /\  ( ( F `  P )  e.  Y  /\  ( F `  w )  e.  Y ) )  -> 
( ( F `  w )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y )  <->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) )
3122, 24, 27, 29, 30syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y )  <->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) )
3231imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  w  e.  X )  ->  (
( ( P C w )  <  z  ->  ( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) )  <-> 
( ( P C w )  <  z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) )
3332pm5.74da 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( (
w  e.  X  -> 
( ( P C w )  <  z  ->  ( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) ) )  <->  ( w  e.  X  ->  ( ( P C w )  < 
z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
3420, 33syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( (
( w  e.  X  /\  ( P C w )  <  z )  ->  ( F `  w )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y ) )  <-> 
( w  e.  X  ->  ( ( P C w )  <  z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
3519, 34bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( (
w  e.  ( P ( ball `  C
) z )  -> 
( F `  w
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) )  <-> 
( w  e.  X  ->  ( ( P C w )  <  z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
3635ralbidv2 2719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( A. w  e.  ( P
( ball `  C )
z ) ( F `
 w )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  <->  A. w  e.  X  ( ( P C w )  <  z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) )
3716, 36bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  <->  A. w  e.  X  ( ( P C w )  <  z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) )
3837anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  <->  A. w  e.  X  ( ( P C w )  < 
z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
3938rexbidva 2714 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( P C w )  < 
z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
4039ralbidva 2713 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( P C w )  <  z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) )
4140pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  (
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( P C w )  < 
z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
423, 41bitrd 245 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( P C w )  < 
z  ->  ( ( F `  P ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   dom cdm 4870   "cima 4873   Fun wfun 5440   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111    < clt 9112   RR+crp 10604   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680   MetOpencmopn 16683    CnP ccnp 17281
This theorem is referenced by:  metcnp2  18564  metcn  18565  metcnpi  18566  txmetcnp  18569  abelth  20349  qqhcn  24367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cnp 17284
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