MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnpi2 Unicode version

Theorem metcnpi2 18304
Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function, with swapped distance function arguments as in metcnp2 18301. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnpi2  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    x, X, y   
x, Y, y    x, A, y    x, C, y   
x, D, y    x, P, y

Proof of Theorem metcnpi2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
2 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
3 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  D  e.  ( * Met `  Y
) )
4 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
54cnprcl 17192 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  U. J )
65adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  U. J )
7 metcn.2 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
87mopnuni 18200 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
98ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  X  =  U. J )
106, 9eleqtrrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  X )
11 metcn.4 . . . . . . 7  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
127, 11metcnp2 18301 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
z ) ) ) )
132, 3, 10, 12syl3anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  x  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  z ) ) ) )
141, 13mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
z ) ) )
1514simprd 449 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  z ) )
16 breq2 4129 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  z  <->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A ) )
1716imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( y C P )  <  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  z )  <-> 
( ( y C P )  <  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A ) ) )
1817rexralbidv 2672 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  z )  <->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A ) ) )
1918rspccv 2966 . . 3  |-  ( A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
z )  ->  ( A  e.  RR+  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A ) ) )
2015, 19syl 15 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( A  e.  RR+  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A ) ) )
2120impr 602 1  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629   U.cuni 3929   class class class wbr 4125   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    < clt 9014   RR+crp 10505   * Metcxmt 16579   MetOpencmopn 16584    CnP ccnp 17172
This theorem is referenced by:  metcnpi3  18305  ftc1lem6  19603  ftc1cnnc  25782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-topgen 13554  df-xmet 16586  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-cnp 17175
  Copyright terms: Public domain W3C validator