MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnpi2 Unicode version

Theorem metcnpi2 18091
Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function, with swapped distance function arguments as in metcnp2 18088. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnpi2  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    x, X, y   
x, Y, y    x, A, y    x, C, y   
x, D, y    x, P, y

Proof of Theorem metcnpi2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
2 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
3 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  D  e.  ( * Met `  Y
) )
4 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
54cnprcl 16975 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  U. J )
65adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  U. J )
7 metcn.2 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
87mopnuni 17987 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
98ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  X  =  U. J )
106, 9eleqtrrd 2360 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  X )
11 metcn.4 . . . . . . 7  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
127, 11metcnp2 18088 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
z ) ) ) )
132, 3, 10, 12syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  x  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  z ) ) ) )
141, 13mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
z ) ) )
1514simprd 449 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  z ) )
16 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  z  <->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A ) )
1716imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( y C P )  <  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  z )  <-> 
( ( y C P )  <  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A ) ) )
1817rexralbidv 2587 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  z )  <->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A ) ) )
1918rspccv 2881 . . 3  |-  ( A. z  e.  RR+  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
z )  ->  ( A  e.  RR+  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A ) ) )
2015, 19syl 15 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( A  e.  RR+  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A ) ) )
2120impr 602 1  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    < clt 8867   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372    CnP ccnp 16955
This theorem is referenced by:  metcnpi3  18092  ftc1lem6  19388
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cnp 16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator