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Theorem metcnpi3 18092
Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at  P. A variation of metcnpi2 18091 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnpi3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    x, X, y   
x, Y, y    x, A, y    x, C, y   
x, D, y    x, P, y

Proof of Theorem metcnpi3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
2 metcn.4 . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
31, 2metcnpi2 18091 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) )
4 rphalfcl 10378 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
54ad2antrl 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A ) ) )  ->  (
z  /  2 )  e.  RR+ )
6 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
7 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  y  e.  X )
8 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
9 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
109cnprcl 16975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  U. J )
118, 10syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  P  e.  U. J )
121mopnuni 17987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
136, 12syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  X  =  U. J )
1411, 13eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  P  e.  X )
15 xmetcl 17896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X
)  ->  ( y C P )  e.  RR* )
166, 7, 14, 15syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( y C P )  e.  RR* )
174ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
1817rpxrd 10391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( z  /  2 )  e. 
RR* )
19 rpxr 10361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e. 
RR* )
2019ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  z  e.  RR* )
21 rphalflt 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  < 
z )
2221ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( z  /  2 )  < 
z )
23 xrlelttr 10487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  (
z  /  2 )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  /\  ( z  / 
2 )  <  z
)  ->  ( y C P )  <  z
) )
2423exp3acom23 1362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  (
z  /  2 )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( z  /  2
)  <  z  ->  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( y C P )  <  z ) ) )
2524imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  ( z  /  2
)  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
z  /  2 )  <  z )  -> 
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  ->  ( y C P )  <  z
) )
2616, 18, 20, 22, 25syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( (
y C P )  <_  ( z  / 
2 )  ->  (
y C P )  <  z ) )
27 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  D  e.  ( * Met `  Y
) )
281mopntopon 17985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
296, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
302mopntopon 17985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3127, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
32 cnpf2 16980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
3329, 31, 8, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  F : X
--> Y )
34 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> Y  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y
)  e.  Y )
3533, 7, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( F `  y )  e.  Y
)
36 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> Y  /\  P  e.  X )  ->  ( F `  P
)  e.  Y )
3733, 14, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( F `  P )  e.  Y
)
38 xmetcl 17896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  Y )  /\  ( F `  y )  e.  Y  /\  ( F `  P
)  e.  Y )  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  e.  RR* )
3927, 35, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  e. 
RR* )
40 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  A  e.  RR+ )
4140rpxrd 10391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  A  e.  RR* )
42 xrltle 10483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)
4339, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
4426, 43imim12d 68 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( (
( y C P )  <  z  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A )  ->  ( ( y C P )  <_ 
( z  /  2
)  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A ) ) )
4544anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( y C P )  < 
z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A )  ->  (
( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
4645ralimdva 2621 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A )  ->  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  ( z  / 
2 )  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) ) )
4746impr 602 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A ) ) )  ->  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  ( z  / 
2 )  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
48 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( y C P )  <_  x  <->  ( y C P )  <_  (
z  /  2 ) ) )
4948imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )  <->  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
5049ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )  <->  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
5150rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( z  /  2
)  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  (
( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) )
525, 47, 51syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) )
5352expr 598 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) ) )
5453rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  -> 
( E. z  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) ) )
553, 54mpd 14 1  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372  TopOnctopon 16632    CnP ccnp 16955
This theorem is referenced by:  blocnilem  21382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cnp 16958
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