MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcn2 Unicode version

Theorem metdcn2 18344
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metdcn2.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
metdcn2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )

Proof of Theorem metdcn2
StepHypRef Expression
1 metxmet 17899 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 xmetdcn2.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
42, 3xmetdcn 18343 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (ordTop ` 
<_  ) ) )
51, 4syl 15 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (ordTop ` 
<_  ) ) )
6 letopon 16935 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
76a1i 10 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
)
8 metf 17895 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
9 frn 5395 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  ->  ran 
D  C_  RR )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ran  D  C_  RR )
11 ressxr 8876 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
1211a1i 10 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  RR  C_  RR* )
13 cnrest2 17014 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ran  D  C_  RR  /\  RR  C_ 
RR* )  ->  ( D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (ordTop `  <_  ) )  <-> 
D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) ) ) )
147, 10, 12, 13syl3anc 1182 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (ordTop ` 
<_  ) )  <->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (
(ordTop `  <_  )t  RR ) ) ) )
155, 14mpbid 201 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  (
(ordTop `  <_  )t  RR ) ) )
16 metdcn2.2 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
17 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
1817xrtgioo 18312 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
1916, 18eqtri 2303 . . 3  |-  K  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
2019oveq2i 5869 . 2  |-  ( ( J  tX  J )  Cn  K )  =  ( ( J  tX  J )  Cn  (
(ordTop `  <_  )t  RR ) )
2115, 20syl6eleqr 2374 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152    X. cxp 4687   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   ↾t crest 13325   topGenctg 13342  ordTopcordt 13398   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  metdcn  18345  msdcn  18346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-ordt 13402  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-ps 14306  df-tsr 14307  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-tms 17887
  Copyright terms: Public domain W3C validator