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Theorem metdcnlem 18341
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
xmetdcn2.2  |-  C  =  ( dist `  RR* s
)
xmetdcn2.3  |-  K  =  ( MetOpen `  C )
metdcn.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
metdcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
metdcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
metdcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
metdcn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
metdcn.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  X )
metdcn.4  |-  ( ph  ->  ( A D Y )  <  ( R  /  2 ) )
metdcn.5  |-  ( ph  ->  ( B D Z )  <  ( R  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metdcnlem  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <  R )

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5  |-  C  =  ( dist `  RR* s
)
21xrsxmet 18315 . . . 4  |-  C  e.  ( * Met `  RR* )
32a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( * Met `  RR* )
)
4 metdcn.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
5 metdcn.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
6 metdcn.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
7 xmetcl 17896 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
84, 5, 6, 7syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A D B )  e.  RR* )
9 metdcn.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
10 metdcn.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  X )
11 xmetcl 17896 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( Y D Z )  e.  RR* )
124, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y D Z )  e.  RR* )
13 xmetcl 17896 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( Y D B )  e.  RR* )
144, 9, 6, 13syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y D B )  e.  RR* )
15 metdcn.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1615rphalfcld 10402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
1716rpred 10390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR )
18 xmetcl 17896 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  RR* )  /\  ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D B )  e. 
RR* )  ->  (
( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR* )
193, 8, 14, 18syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR* )
20 xmetcl 17896 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X
)  ->  ( A D Y )  e.  RR* )
214, 5, 9, 20syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D Y )  e.  RR* )
2216rpxrd 10391 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR* )
231xmetrtri2 17920 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  Y  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( A D Y ) )
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( A D Y ) )
25 metdcn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D Y )  <  ( R  /  2 ) )
2619, 21, 22, 24, 25xrlelttrd 10491 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <  ( R  /  2 ) )
27 xrltle 10483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR*  /\  ( R  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
2819, 22, 27syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
2926, 28mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) )
30 xmetlecl 17911 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  RR* )  /\  ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D B )  e.  RR* )  /\  ( ( R  / 
2 )  e.  RR  /\  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR )
313, 8, 14, 17, 29, 30syl122anc 1191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR )
32 xmetcl 17896 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  RR* )  /\  ( Y D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e. 
RR* )  ->  (
( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR* )
333, 14, 12, 32syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR* )
34 xmetcl 17896 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( B D Z )  e.  RR* )
354, 6, 10, 34syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Z )  e.  RR* )
36 xmetsym 17912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( Y D B )  =  ( B D Y ) )
374, 9, 6, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y D B )  =  ( B D Y ) )
38 xmetsym 17912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( Y D Z )  =  ( Z D Y ) )
394, 9, 10, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y D Z )  =  ( Z D Y ) )
4037, 39oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  =  ( ( B D Y ) C ( Z D Y ) ) )
411xmetrtri2 17920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( B  e.  X  /\  Z  e.  X  /\  Y  e.  X ) )  -> 
( ( B D Y ) C ( Z D Y ) )  <_  ( B D Z ) )
424, 6, 10, 9, 41syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B D Y ) C ( Z D Y ) )  <_  ( B D Z ) )
4340, 42eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( B D Z ) )
44 metdcn.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Z )  <  ( R  /  2 ) )
4533, 35, 22, 43, 44xrlelttrd 10491 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <  ( R  /  2 ) )
46 xrltle 10483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR*  /\  ( R  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
4733, 22, 46syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
4845, 47mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) )
49 xmetlecl 17911 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  RR* )  /\  ( ( Y D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e.  RR* )  /\  ( ( R  / 
2 )  e.  RR  /\  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
503, 14, 12, 17, 48, 49syl122anc 1191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
5131, 50readdcld 8862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  e.  RR )
52 xmettri 17915 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  RR* )  /\  ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e.  RR*  /\  ( Y D B )  e. 
RR* ) )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) ) + e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
533, 8, 12, 14, 52syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) ) + e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
54 rexadd 10559 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR  /\  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) + e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  =  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
5531, 50, 54syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) + e
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  =  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
5653, 55breqtrd 4047 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
57 xmetlecl 17911 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  RR* )  /\  ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e.  RR* )  /\  ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  e.  RR  /\  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) ) )  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
583, 8, 12, 51, 56, 57syl122anc 1191 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
5915rpred 10390 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
6031, 50, 59, 26, 45lt2halvesd 9959 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  <  R )
6158, 51, 59, 56, 60lelttrd 8974 1  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   + ecxad 10450   distcds 13217   RR* scxrs 13399   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372
This theorem is referenced by:  xmetdcn2  18342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-xrs 13403  df-xmet 16373
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