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Theorem metdcnlem 18872
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
xmetdcn2.2  |-  C  =  ( dist `  RR* s
)
xmetdcn2.3  |-  K  =  ( MetOpen `  C )
metdcn.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
metdcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
metdcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
metdcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
metdcn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
metdcn.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  X )
metdcn.4  |-  ( ph  ->  ( A D Y )  <  ( R  /  2 ) )
metdcn.5  |-  ( ph  ->  ( B D Z )  <  ( R  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metdcnlem  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <  R )

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5  |-  C  =  ( dist `  RR* s
)
21xrsxmet 18845 . . . 4  |-  C  e.  ( * Met `  RR* )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( * Met `  RR* )
)
4 metdcn.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
5 metdcn.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
6 metdcn.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
7 xmetcl 18366 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
84, 5, 6, 7syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A D B )  e.  RR* )
9 metdcn.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
10 metdcn.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  X )
11 xmetcl 18366 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( Y D Z )  e.  RR* )
124, 9, 10, 11syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y D Z )  e.  RR* )
13 xmetcl 18366 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( Y D B )  e.  RR* )
144, 9, 6, 13syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y D B )  e.  RR* )
15 metdcn.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1615rphalfcld 10665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
1716rpred 10653 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR )
18 xmetcl 18366 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  RR* )  /\  ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D B )  e. 
RR* )  ->  (
( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR* )
193, 8, 14, 18syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR* )
20 xmetcl 18366 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  Y  e.  X
)  ->  ( A D Y )  e.  RR* )
214, 5, 9, 20syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D Y )  e.  RR* )
2216rpxrd 10654 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR* )
231xmetrtri2 18391 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  Y  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( A D Y ) )
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( A D Y ) )
25 metdcn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D Y )  <  ( R  /  2 ) )
2619, 21, 22, 24, 25xrlelttrd 10755 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <  ( R  /  2 ) )
27 xrltle 10747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR*  /\  ( R  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
2819, 22, 27syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
2926, 28mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) )
30 xmetlecl 18381 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  RR* )  /\  ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D B )  e.  RR* )  /\  ( ( R  / 
2 )  e.  RR  /\  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR )
313, 8, 14, 17, 29, 30syl122anc 1194 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR )
32 xmetcl 18366 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  RR* )  /\  ( Y D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e. 
RR* )  ->  (
( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR* )
333, 14, 12, 32syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR* )
34 xmetcl 18366 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( B D Z )  e.  RR* )
354, 6, 10, 34syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Z )  e.  RR* )
36 xmetsym 18382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( Y D B )  =  ( B D Y ) )
374, 9, 6, 36syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y D B )  =  ( B D Y ) )
38 xmetsym 18382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( Y D Z )  =  ( Z D Y ) )
394, 9, 10, 38syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y D Z )  =  ( Z D Y ) )
4037, 39oveq12d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  =  ( ( B D Y ) C ( Z D Y ) ) )
411xmetrtri2 18391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( B  e.  X  /\  Z  e.  X  /\  Y  e.  X ) )  -> 
( ( B D Y ) C ( Z D Y ) )  <_  ( B D Z ) )
424, 6, 10, 9, 41syl13anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B D Y ) C ( Z D Y ) )  <_  ( B D Z ) )
4340, 42eqbrtrd 4235 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( B D Z ) )
44 metdcn.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Z )  <  ( R  /  2 ) )
4533, 35, 22, 43, 44xrlelttrd 10755 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <  ( R  /  2 ) )
46 xrltle 10747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR*  /\  ( R  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
4733, 22, 46syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <  ( R  /  2 )  -> 
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )
4845, 47mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) )
49 xmetlecl 18381 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  RR* )  /\  ( ( Y D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e.  RR* )  /\  ( ( R  / 
2 )  e.  RR  /\  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( R  /  2 ) ) )  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
503, 14, 12, 17, 48, 49syl122anc 1194 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
5131, 50readdcld 9120 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  e.  RR )
52 xmettri 18386 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  RR* )  /\  ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e.  RR*  /\  ( Y D B )  e. 
RR* ) )  -> 
( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) ) + e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
533, 8, 12, 14, 52syl13anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) ) + e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
54 rexadd 10823 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  e.  RR  /\  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) + e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  =  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
5531, 50, 54syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) + e
( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  =  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
5653, 55breqtrd 4239 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
57 xmetlecl 18381 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  RR* )  /\  ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( Y D Z )  e.  RR* )  /\  ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  e.  RR  /\  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <_  ( (
( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) ) )  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
583, 8, 12, 51, 56, 57syl122anc 1194 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  e.  RR )
5915rpred 10653 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
6031, 50, 59, 26, 45lt2halvesd 10220 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) )  +  ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) )  <  R )
6158, 51, 59, 56, 60lelttrd 9233 1  |-  ( ph  ->  ( ( A D B ) C ( Y D Z ) )  <  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994    + caddc 8998   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    / cdiv 9682   2c2 10054   RR+crp 10617   + ecxad 10713   distcds 13543   RR* scxrs 13727   * Metcxmt 16691   MetOpencmopn 16696
This theorem is referenced by:  xmetdcn2  18873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-icc 10928  df-fz 11049  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-xrs 13731  df-xmet 16700
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