Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcnlem Structured version   Unicode version

Theorem metdcnlem 18872
 Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1
xmetdcn2.2
xmetdcn2.3
metdcn.d
metdcn.a
metdcn.b
metdcn.r
metdcn.y
metdcn.z
metdcn.4
metdcn.5
Assertion
Ref Expression
metdcnlem

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5
21xrsxmet 18845 . . . 4
32a1i 11 . . 3
4 metdcn.d . . . 4
5 metdcn.a . . . 4
6 metdcn.b . . . 4
7 xmetcl 18366 . . . 4
84, 5, 6, 7syl3anc 1185 . . 3
9 metdcn.y . . . 4
10 metdcn.z . . . 4
11 xmetcl 18366 . . . 4
124, 9, 10, 11syl3anc 1185 . . 3
13 xmetcl 18366 . . . . . 6
144, 9, 6, 13syl3anc 1185 . . . . 5
15 metdcn.r . . . . . . 7
1615rphalfcld 10665 . . . . . 6
1716rpred 10653 . . . . 5
18 xmetcl 18366 . . . . . . . 8
193, 8, 14, 18syl3anc 1185 . . . . . . 7
20 xmetcl 18366 . . . . . . . 8
214, 5, 9, 20syl3anc 1185 . . . . . . 7
2216rpxrd 10654 . . . . . . 7
231xmetrtri2 18391 . . . . . . . 8
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1187 . . . . . . 7
25 metdcn.4 . . . . . . 7
2619, 21, 22, 24, 25xrlelttrd 10755 . . . . . 6
27 xrltle 10747 . . . . . . 7
2819, 22, 27syl2anc 644 . . . . . 6
2926, 28mpd 15 . . . . 5
30 xmetlecl 18381 . . . . 5
313, 8, 14, 17, 29, 30syl122anc 1194 . . . 4
32 xmetcl 18366 . . . . . . . 8
333, 14, 12, 32syl3anc 1185 . . . . . . 7
34 xmetcl 18366 . . . . . . . 8
354, 6, 10, 34syl3anc 1185 . . . . . . 7
36 xmetsym 18382 . . . . . . . . . 10
374, 9, 6, 36syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
38 xmetsym 18382 . . . . . . . . . 10
394, 9, 10, 38syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
4037, 39oveq12d 6102 . . . . . . . 8
411xmetrtri2 18391 . . . . . . . . 9
424, 6, 10, 9, 41syl13anc 1187 . . . . . . . 8
4340, 42eqbrtrd 4235 . . . . . . 7
44 metdcn.5 . . . . . . 7
4533, 35, 22, 43, 44xrlelttrd 10755 . . . . . 6
46 xrltle 10747 . . . . . . 7
4733, 22, 46syl2anc 644 . . . . . 6
4845, 47mpd 15 . . . . 5
49 xmetlecl 18381 . . . . 5
503, 14, 12, 17, 48, 49syl122anc 1194 . . . 4
5131, 50readdcld 9120 . . 3
52 xmettri 18386 . . . . 5
533, 8, 12, 14, 52syl13anc 1187 . . . 4
54 rexadd 10823 . . . . 5
5531, 50, 54syl2anc 644 . . . 4
5653, 55breqtrd 4239 . . 3
57 xmetlecl 18381 . . 3
583, 8, 12, 51, 56, 57syl122anc 1194 . 2
5915rpred 10653 . 2
6031, 50, 59, 26, 45lt2halvesd 10220 . 2
6158, 51, 59, 56, 60lelttrd 9233 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1726   class class class wbr 4215  cfv 5457  (class class class)co 6084  cr 8994   caddc 8998  cxr 9124   clt 9125   cle 9126   cdiv 9682  c2 10054  crp 10617  cxad 10713  cds 13543  cxrs 13727  cxmt 16691  cmopn 16696 This theorem is referenced by:  xmetdcn2  18873 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-icc 10928  df-fz 11049  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-xrs 13731  df-xmet 16700
 Copyright terms: Public domain W3C validator