Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metds0 Unicode version

Theorem metds0 18370
 Description: If a point is in a set, its distance to the set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f
Assertion
Ref Expression
metds0
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem metds0
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . . . . . . . 10
21metdsf 18368 . . . . . . . . 9
323adant3 975 . . . . . . . 8
4 ssel2 3188 . . . . . . . . 9
543adant1 973 . . . . . . . 8
6 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
73, 5, 6syl2anc 642 . . . . . . 7
8 elxrge0 10763 . . . . . . . 8
98simplbi 446 . . . . . . 7
107, 9syl 15 . . . . . 6
11 xrleid 10500 . . . . . 6
1210, 11syl 15 . . . . 5
13 simp1 955 . . . . . 6
14 simp2 956 . . . . . 6
151metdsge 18369 . . . . . 6
1613, 14, 5, 10, 15syl31anc 1185 . . . . 5
1712, 16mpbid 201 . . . 4
18 simpl3 960 . . . . . . 7
1913adantr 451 . . . . . . . 8
205adantr 451 . . . . . . . 8
2110adantr 451 . . . . . . . 8
22 simpr 447 . . . . . . . 8
23 xblcntr 17979 . . . . . . . 8
2419, 20, 21, 22, 23syl112anc 1186 . . . . . . 7
25 inelcm 3522 . . . . . . 7
2618, 24, 25syl2anc 642 . . . . . 6
2726ex 423 . . . . 5
2827necon2bd 2508 . . . 4
2917, 28mpd 14 . . 3
308simprbi 450 . . . . . 6
317, 30syl 15 . . . . 5
32 0xr 8894 . . . . . 6
33 xrleloe 10494 . . . . . 6
3432, 10, 33sylancr 644 . . . . 5
3531, 34mpbid 201 . . . 4
3635ord 366 . . 3
3729, 36mpd 14 . 2
3837eqcomd 2301 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459   cin 3164   wss 3165  c0 3468   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cc0 8753   cpnf 8880  cxr 8882   clt 8883   cle 8884  cicc 10675  cxmt 16385  cbl 16387 This theorem is referenced by:  metdsle  18372  metnrmlem1  18379 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-xmet 16389  df-bl 16391
 Copyright terms: Public domain W3C validator