Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn Structured version   Unicode version

Theorem metdscn 18917
 Description: The function which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f
metdscn.j
metdscn.c
metdscn.k
Assertion
Ref Expression
metdscn
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem metdscn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . 4
21metdsf 18909 . . 3
3 iccssxr 11024 . . 3
4 fss 5628 . . 3
52, 3, 4sylancl 645 . 2
6 simprr 735 . . . 4
75ad2antrr 708 . . . . . . . . 9
8 simplrl 738 . . . . . . . . 9
97, 8ffvelrnd 5900 . . . . . . . 8
10 simprl 734 . . . . . . . . 9
117, 10ffvelrnd 5900 . . . . . . . 8
12 metdscn.c . . . . . . . . 9
1312xrsdsval 16773 . . . . . . . 8
149, 11, 13syl2anc 644 . . . . . . 7
15 metdscn.j . . . . . . . . 9
16 metdscn.k . . . . . . . . 9
17 simplll 736 . . . . . . . . 9
18 simpllr 737 . . . . . . . . 9
19 simplrr 739 . . . . . . . . 9
20 xmetsym 18408 . . . . . . . . . . 11
2117, 10, 8, 20syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
22 simprr 735 . . . . . . . . . 10
2321, 22eqbrtrd 4257 . . . . . . . . 9
241, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23metdscnlem 18916 . . . . . . . 8
251, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22metdscnlem 18916 . . . . . . . 8
26 breq1 4240 . . . . . . . . 9
27 breq1 4240 . . . . . . . . 9
2826, 27ifboth 3794 . . . . . . . 8
2924, 25, 28syl2anc 644 . . . . . . 7
3014, 29eqbrtrd 4257 . . . . . 6
3130expr 600 . . . . 5
3231ralrimiva 2795 . . . 4
33 breq2 4241 . . . . . . 7
3433imbi1d 310 . . . . . 6
3534ralbidv 2731 . . . . 5
3635rspcev 3058 . . . 4
376, 32, 36syl2anc 644 . . 3
3837ralrimivva 2804 . 2
39 simpl 445 . . 3
4012xrsxmet 18871 . . 3
4115, 16metcn 18604 . . 3
4239, 40, 41sylancl 645 . 2
435, 38, 42mpbir2and 890 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711  wrex 2712   wss 3306  cif 3763   class class class wbr 4237   cmpt 4291  ccnv 4906   crn 4908  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110  csup 7474  cc0 9021   cpnf 9148  cxr 9150   clt 9151   cle 9152  crp 10643   cxne 10738  cxad 10739  cicc 10950  cds 13569  cxrs 13753  cxmt 16717  cmopn 16722   ccn 17319 This theorem is referenced by:  metdscn2  18918 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-ec 6936  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-icc 10954  df-fz 11075  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-topgen 13698  df-xrs 13757  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-cn 17322  df-cnp 17323
 Copyright terms: Public domain W3C validator