Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn Unicode version

Theorem metdscn 18457
 Description: The function which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f
metdscn.j
metdscn.c
metdscn.k
Assertion
Ref Expression
metdscn
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem metdscn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . 4
21metdsf 18449 . . 3
3 iccssxr 10821 . . 3
4 fss 5477 . . 3
52, 3, 4sylancl 643 . 2
6 simprr 733 . . . 4
75ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
8 simplrl 736 . . . . . . . . 9
9 ffvelrn 5743 . . . . . . . . 9
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . . 8
11 simprl 732 . . . . . . . . 9
12 ffvelrn 5743 . . . . . . . . 9
137, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . 8
14 metdscn.c . . . . . . . . 9
1514xrsdsval 16515 . . . . . . . 8
1610, 13, 15syl2anc 642 . . . . . . 7
17 metdscn.j . . . . . . . . 9
18 metdscn.k . . . . . . . . 9
19 simplll 734 . . . . . . . . 9
20 simpllr 735 . . . . . . . . 9
21 simplrr 737 . . . . . . . . 9
22 xmetsym 18008 . . . . . . . . . . 11
2319, 11, 8, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
24 simprr 733 . . . . . . . . . 10
2523, 24eqbrtrd 4122 . . . . . . . . 9
261, 17, 14, 18, 19, 20, 11, 8, 21, 25metdscnlem 18456 . . . . . . . 8
271, 17, 14, 18, 19, 20, 8, 11, 21, 24metdscnlem 18456 . . . . . . . 8
28 breq1 4105 . . . . . . . . 9
29 breq1 4105 . . . . . . . . 9
3028, 29ifboth 3672 . . . . . . . 8
3126, 27, 30syl2anc 642 . . . . . . 7
3216, 31eqbrtrd 4122 . . . . . 6
3332expr 598 . . . . 5
3433ralrimiva 2702 . . . 4
35 breq2 4106 . . . . . . 7
3635imbi1d 308 . . . . . 6
3736ralbidv 2639 . . . . 5
3837rspcev 2960 . . . 4
396, 34, 38syl2anc 642 . . 3
4039ralrimivva 2711 . 2
41 simpl 443 . . 3
4214xrsxmet 18411 . . 3
4317, 18metcn 18185 . . 3
4441, 42, 43sylancl 643 . 2
455, 40, 44mpbir2and 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  wral 2619  wrex 2620   wss 3228  cif 3641   class class class wbr 4102   cmpt 4156  ccnv 4767   crn 4769  wf 5330  cfv 5334  (class class class)co 5942  csup 7280  cc0 8824   cpnf 8951  cxr 8953   clt 8954   cle 8955  crp 10443   cxne 10538  cxad 10539  cicc 10748  cds 13308  cxrs 13492  cxmt 16462  cmopn 16467   ccn 17054 This theorem is referenced by:  metdscn2  18458 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-ec 6746  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-icc 10752  df-fz 10872  df-seq 11136  df-exp 11195  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-topgen 13437  df-xrs 13496  df-xmet 16469  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-cn 17057  df-cnp 17058
 Copyright terms: Public domain W3C validator