Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsf Structured version   Unicode version

Theorem metdsf 18870
 Description: The distance from a point to a set is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f
Assertion
Ref Expression
metdsf
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem metdsf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 735 . . . . . . 7
2 simplr 732 . . . . . . 7
3 simplr 732 . . . . . . . 8
43sselda 3340 . . . . . . 7
5 xmetcl 18353 . . . . . . 7
61, 2, 4, 5syl3anc 1184 . . . . . 6
7 eqid 2435 . . . . . 6
86, 7fmptd 5885 . . . . 5
9 frn 5589 . . . . 5
108, 9syl 16 . . . 4
11 infmxrcl 10887 . . . 4
1210, 11syl 16 . . 3
13 xmetge0 18366 . . . . . . 7
141, 2, 4, 13syl3anc 1184 . . . . . 6
1514ralrimiva 2781 . . . . 5
16 ovex 6098 . . . . . . 7
1716rgenw 2765 . . . . . 6
18 breq2 4208 . . . . . . 7
197, 18ralrnmpt 5870 . . . . . 6
2017, 19ax-mp 8 . . . . 5
2115, 20sylibr 204 . . . 4
22 0xr 9123 . . . . 5
23 infmxrgelb 10905 . . . . 5
2410, 22, 23sylancl 644 . . . 4
2521, 24mpbird 224 . . 3
26 elxrge0 11000 . . 3
2712, 25, 26sylanbrc 646 . 2
28 metdscn.f . 2
2927, 28fmptd 5885 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   wss 3312   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4869   crn 4871  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  csup 7437  cc0 8982   cpnf 9109  cxr 9111   clt 9112   cle 9113  cicc 10911  cxmt 16678 This theorem is referenced by:  metds0  18872  metdstri  18873  metdsre  18875  metdseq0  18876  metdscnlem  18877  metdscn  18878  metnrmlem1a  18880  metnrmlem1  18881  lebnumlem1  18978 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-xmet 16687
 Copyright terms: Public domain W3C validator