Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsre Unicode version

Theorem metdsre 18571
 Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f
Assertion
Ref Expression
metdsre
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem metdsre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3552 . . 3
2 metxmet 18112 . . . . . . . . 9
3 metdscn.f . . . . . . . . . 10
43metdsf 18566 . . . . . . . . 9
52, 4sylan 457 . . . . . . . 8
65adantr 451 . . . . . . 7
7 ffn 5495 . . . . . . 7
86, 7syl 15 . . . . . 6
95adantr 451 . . . . . . . . . . 11
10 simprr 733 . . . . . . . . . . 11
11 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . 11
129, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
13 elxrge0 10900 . . . . . . . . . . 11
1413simplbi 446 . . . . . . . . . 10
1512, 14syl 15 . . . . . . . . 9
16 simpll 730 . . . . . . . . . 10
17 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
1817sselda 3266 . . . . . . . . . . 11
1918adantrr 697 . . . . . . . . . 10
20 metcl 18110 . . . . . . . . . 10
2116, 19, 10, 20syl3anc 1183 . . . . . . . . 9
2213simprbi 450 . . . . . . . . . 10
2312, 22syl 15 . . . . . . . . 9
243metdsle 18570 . . . . . . . . . 10
252, 24sylanl1 631 . . . . . . . . 9
26 xrrege0 10655 . . . . . . . . 9
2715, 21, 23, 25, 26syl22anc 1184 . . . . . . . 8
2827anassrs 629 . . . . . . 7
2928ralrimiva 2711 . . . . . 6
30 ffnfv 5796 . . . . . 6
318, 29, 30sylanbrc 645 . . . . 5
3231ex 423 . . . 4
3332exlimdv 1641 . . 3
341, 33syl5bi 208 . 2
35343impia 1149 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 935  wex 1546   wceq 1647   wcel 1715   wne 2529  wral 2628   wss 3238  c0 3543   class class class wbr 4125   cmpt 4179  ccnv 4791   crn 4793   wfn 5353  wf 5354  cfv 5358  (class class class)co 5981  csup 7340  cr 8883  cc0 8884   cpnf 9011  cxr 9013   clt 9014   cle 9015  cicc 10812  cxmt 16579  cme 16580 This theorem is referenced by:  metdscn2  18575  lebnumlem1  18674  lebnumlem3  18676 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-er 6802  df-ec 6804  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-2 9951  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-icc 10816  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588
 Copyright terms: Public domain W3C validator