Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsre Structured version   Unicode version

Theorem metdsre 18888
 Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f
Assertion
Ref Expression
metdsre
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem metdsre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3639 . . 3
2 metxmet 18369 . . . . . . . . 9
3 metdscn.f . . . . . . . . . 10
43metdsf 18883 . . . . . . . . 9
52, 4sylan 459 . . . . . . . 8
65adantr 453 . . . . . . 7
7 ffn 5594 . . . . . . 7
86, 7syl 16 . . . . . 6
95adantr 453 . . . . . . . . . . 11
10 simprr 735 . . . . . . . . . . 11
119, 10ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . 10
12 elxrge0 11013 . . . . . . . . . . 11
1312simplbi 448 . . . . . . . . . 10
1411, 13syl 16 . . . . . . . . 9
15 simpll 732 . . . . . . . . . 10
16 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12
1716sselda 3350 . . . . . . . . . . 11
1817adantrr 699 . . . . . . . . . 10
19 metcl 18367 . . . . . . . . . 10
2015, 18, 10, 19syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
2112simprbi 452 . . . . . . . . . 10
2211, 21syl 16 . . . . . . . . 9
233metdsle 18887 . . . . . . . . . 10
242, 23sylanl1 633 . . . . . . . . 9
25 xrrege0 10767 . . . . . . . . 9
2614, 20, 22, 24, 25syl22anc 1186 . . . . . . . 8
2726anassrs 631 . . . . . . 7
2827ralrimiva 2791 . . . . . 6
29 ffnfv 5897 . . . . . 6
308, 28, 29sylanbrc 647 . . . . 5
3130ex 425 . . . 4
3231exlimdv 1647 . . 3
331, 32syl5bi 210 . 2
34333impia 1151 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707   wss 3322  c0 3630   class class class wbr 4215   cmpt 4269  ccnv 4880   crn 4882   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  csup 7448  cr 8994  cc0 8995   cpnf 9122  cxr 9124   clt 9125   cle 9126  cicc 10924  cxmt 16691  cme 16692 This theorem is referenced by:  metdscn2  18892  lebnumlem1  18991  lebnumlem3  18993 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-er 6908  df-ec 6910  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-2 10063  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-icc 10928  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702
 Copyright terms: Public domain W3C validator