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Theorem metdstri 18371
Description: A generalization of the triangle inequality to the point-set distance function. Under the usual notation where the same symbol  d denotes the point-point and point-set distance functions, this theorem would be written  d ( a ,  S )  <_ 
d ( a ,  b )  +  d ( b ,  S
). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
metdstri  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( ( A D B ) + e ( F `  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, D, y    x, B, y    x, S, y   
x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem metdstri
StepHypRef Expression
1 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
2 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( A D B )  e.  RR )
3 rexsub 10576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  =  ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  =  ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) )
54oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) )  =  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) ) )
6 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
76adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
8 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
98adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  B  e.  X )
10 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
1110adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  A  e.  X )
121, 2resubcld 9227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  A )  -  ( A D B ) )  e.  RR )
132leidd 9355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( A D B )  <_  ( A D B ) )
14 xmetsym 17928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  =  ( B D A ) )
156, 10, 8, 14syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  =  ( B D A ) )
1615adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( A D B )  =  ( B D A ) )
1716eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( B D A )  =  ( A D B ) )
181recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( F `  A )  e.  CC )
192recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( A D B )  e.  CC )
2018, 19nncand 9178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  A )  -  ( ( F `
 A )  -  ( A D B ) ) )  =  ( A D B ) )
2113, 17, 203brtr4d 4069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( B D A )  <_  (
( F `  A
)  -  ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) ) )
22 blss2 17975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
( F `  A
)  -  ( A D B ) )  e.  RR  /\  ( F `  A )  e.  RR  /\  ( B D A )  <_ 
( ( F `  A )  -  (
( F `  A
)  -  ( A D B ) ) ) ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
237, 9, 11, 12, 1, 21, 22syl33anc 1197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) )  C_  ( A
( ball `  D )
( F `  A
) ) )
245, 23eqsstrd 3225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
2524expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A )  e.  RR  ->  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
266adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
278adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  B  e.  X )
28 metdscn.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2928metdsf 18368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  F : X
--> ( 0 [,]  +oo ) )
3029adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  F : X --> ( 0 [,]  +oo ) )
31 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : X --> ( 0 [,]  +oo )  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  A )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3230, 10, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
33 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( F `  A )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( F `  A
) ) )
3433simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
3532, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR* )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( F `  A
)  e.  RR* )
37 xmetcl 17912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
386, 10, 8, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  e.  RR* )
3938adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( A D B )  e.  RR* )
4039xnegcld 10636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  - e ( A D B )  e.  RR* )
4136, 40xaddcld 10637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  e. 
RR* )
4241adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  e.  RR* )
43 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
4443a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  +oo  e.  RR* )
45 pnfge 10485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  A
) + e  - e ( A D B ) )  e. 
RR*  ->  ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) )  <_  +oo )
4642, 45syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  <_  +oo )
47 ssbl 17987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  X )  /\  (
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  e. 
RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) )  <_  +oo )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  C_  ( B ( ball `  D
)  +oo ) )
4826, 27, 42, 44, 46, 47syl221anc 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) ) 
C_  ( B (
ball `  D )  +oo ) )
49 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( F `  A )  =  +oo )
5049oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( A
( ball `  D )
( F `  A
) )  =  ( A ( ball `  D
)  +oo ) )
5110adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  A  e.  X )
52 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( A D B )  e.  RR )
53 xblpnf 17969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( B  e.  ( A ( ball `  D )  +oo )  <->  ( B  e.  X  /\  ( A D B )  e.  RR ) ) )
5426, 51, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( B  e.  ( A ( ball `  D )  +oo )  <->  ( B  e.  X  /\  ( A D B )  e.  RR ) ) )
5527, 52, 54mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  B  e.  ( A ( ball `  D
)  +oo ) )
56 blpnfctr 17998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  ( A ( ball `  D
)  +oo ) )  -> 
( A ( ball `  D )  +oo )  =  ( B (
ball `  D )  +oo ) )
5726, 51, 55, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( A
( ball `  D )  +oo )  =  ( B ( ball `  D
)  +oo ) )
5850, 57eqtr2d 2329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( B
( ball `  D )  +oo )  =  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
5948, 58sseqtrd 3227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
6059expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A )  =  +oo  ->  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
6133simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  ( F `  A
) )
6232, 61syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F `  A ) )
63 ge0nemnf 10518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( F `  A
) )  ->  ( F `  A )  =/=  -oo )
6435, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  =/=  -oo )
6535, 64jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  RR*  /\  ( F `  A
)  =/=  -oo )
)
6665adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A )  e.  RR*  /\  ( F `  A
)  =/=  -oo )
)
67 xrnemnf 10476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR*  /\  ( F `  A )  =/=  -oo )  <->  ( ( F `  A )  e.  RR  \/  ( F `
 A )  = 
+oo ) )
6866, 67sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A )  e.  RR  \/  ( F `  A
)  =  +oo )
)
6925, 60, 68mpjaod 370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
70 0ss 3496 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )
71 pnfnlt 10483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  A )  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  ( F `  A
) )
7235, 71syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  -.  +oo  <  ( F `  A ) )
7372adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  =  +oo )  ->  -.  +oo  <  ( F `  A ) )
7438xnegcld 10636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  - e ( A D B )  e.  RR* )
7535, 74xaddcld 10637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  e. 
RR* )
76 xbln0 17981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  ( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  e. 
RR* )  ->  (
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  =/=  (/) 
<->  0  <  ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) ) )
776, 8, 75, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) )  =/=  (/)  <->  0  <  (
( F `  A
) + e  - e ( A D B ) ) ) )
78 xposdif 10598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  (
( A D B )  <  ( F `
 A )  <->  0  <  ( ( F `  A
) + e  - e ( A D B ) ) ) )
7938, 35, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B )  <  ( F `  A )  <->  0  <  ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) ) ) )
8077, 79bitr4d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) )  =/=  (/)  <->  ( A D B )  <  ( F `  A )
) )
81 breq1 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A D B )  =  +oo  ->  (
( A D B )  <  ( F `
 A )  <->  +oo  <  ( F `  A )
) )
8280, 81sylan9bb 680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  =  +oo )  -> 
( ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) )  =/=  (/)  <->  +oo  <  ( F `  A ) ) )
8382necon1bbid 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  =  +oo )  -> 
( -.  +oo  <  ( F `  A )  <-> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  =  (/) ) )
8473, 83mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  =  +oo )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  =  (/) )
8584sseq1d 3218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  =  +oo )  -> 
( ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) )  <->  (/)  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
8670, 85mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  =  +oo )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
87 xmetge0 17925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
886, 10, 8, 87syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( A D B ) )
89 ge0nemnf 10518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( A D B ) )  ->  ( A D B )  =/= 
-oo )
9038, 88, 89syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  =/=  -oo )
9138, 90jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( A D B )  =/=  -oo )
)
92 xrnemnf 10476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( A D B )  =/= 
-oo )  <->  ( ( A D B )  e.  RR  \/  ( A D B )  = 
+oo ) )
9391, 92sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B )  e.  RR  \/  ( A D B )  =  +oo )
)
9469, 86, 93mpjaodan 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
95 sslin 3408 . . . . . 6  |-  ( ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  -> 
( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) ) ) )  C_  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
9694, 95syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) ) ) )  C_  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
97 xrleid 10500 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  RR*  ->  ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
) )
9835, 97syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( F `  A ) )
99 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  S  C_  X )
10028metdsge 18369 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  ( ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
1016, 99, 10, 35, 100syl31anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  <_  ( F `  A )  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
10298, 101mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) )
103 sseq0 3499 . . . . 5  |-  ( ( ( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) ) ) )  C_  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  /\  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) )  ->  ( S  i^i  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) ) )  =  (/) )
10496, 102, 103syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) ) ) )  =  (/) )
10528metdsge 18369 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) )  <_  ( F `  B )  <->  ( S  i^i  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) ) )  =  (/) ) )
1066, 99, 8, 75, 105syl31anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) )  <_  ( F `  B )  <->  ( S  i^i  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) ) )  =  (/) ) )
107104, 106mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  <_ 
( F `  B
) )
108 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> ( 0 [,]  +oo )  /\  B  e.  X )  ->  ( F `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
10930, 8, 108syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
110 elxrge0 10763 . . . . . 6  |-  ( ( F `  B )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) )
111110simplbi 446 . . . . 5  |-  ( ( F `  B )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( F `  B )  e.  RR* )
112109, 111syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  B
)  e.  RR* )
113110simprbi 450 . . . . 5  |-  ( ( F `  B )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  ( F `  B
) )
114109, 113syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F `  B ) )
115 xlesubadd 10599 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  A )  e.  RR*  /\  ( A D B )  e.  RR*  /\  ( F `  B )  e.  RR* )  /\  (
0  <_  ( F `  A )  /\  ( A D B )  =/= 
-oo  /\  0  <_  ( F `  B ) ) )  ->  (
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  <_ 
( F `  B
)  <->  ( F `  A )  <_  (
( F `  B
) + e ( A D B ) ) ) )
11635, 38, 112, 62, 90, 114, 115syl33anc 1197 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) )  <_  ( F `  B )  <->  ( F `  A )  <_  (
( F `  B
) + e ( A D B ) ) ) )
117107, 116mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( ( F `  B ) + e ( A D B ) ) )
118 xaddcom 10581 . . 3  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR* )  ->  (
( F `  B
) + e ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) + e ( F `
 B ) ) )
119112, 38, 118syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  B ) + e
( A D B ) )  =  ( ( A D B ) + e ( F `  B ) ) )
120117, 119breqtrd 4063 1  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( ( A D B ) + e ( F `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    - ecxne 10465   + ecxad 10466   [,]cicc 10675   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387
This theorem is referenced by:  metdsle  18372  metdscnlem  18375  metnrmlem1  18379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-ec 6678  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-xmet 16389  df-bl 16391
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