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Theorem metdstri 18881
Description: A generalization of the triangle inequality to the point-set distance function. Under the usual notation where the same symbol  d denotes the point-point and point-set distance functions, this theorem would be written  d ( a ,  S )  <_ 
d ( a ,  b )  +  d ( b ,  S
). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
metdstri  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( ( A D B ) + e ( F `  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, D, y    x, B, y    x, S, y   
x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem metdstri
StepHypRef Expression
1 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
2 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( A D B )  e.  RR )
3 rexsub 10819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  =  ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  =  ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) )
54oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) )  =  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) ) )
6 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
76adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
8 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
98adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  B  e.  X )
10 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
1110adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  A  e.  X )
121, 2resubcld 9465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  A )  -  ( A D B ) )  e.  RR )
132leidd 9593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( A D B )  <_  ( A D B ) )
14 xmetsym 18377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  =  ( B D A ) )
156, 10, 8, 14syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  =  ( B D A ) )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( A D B )  =  ( B D A ) )
1716eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( B D A )  =  ( A D B ) )
181recnd 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( F `  A )  e.  CC )
192recnd 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( A D B )  e.  CC )
2018, 19nncand 9416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  A )  -  ( ( F `
 A )  -  ( A D B ) ) )  =  ( A D B ) )
2113, 17, 203brtr4d 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( B D A )  <_  (
( F `  A
)  -  ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) ) )
22 blss2 18434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
( F `  A
)  -  ( A D B ) )  e.  RR  /\  ( F `  A )  e.  RR  /\  ( B D A )  <_ 
( ( F `  A )  -  (
( F `  A
)  -  ( A D B ) ) ) ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
237, 9, 11, 12, 1, 21, 22syl33anc 1199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A )  -  ( A D B ) ) )  C_  ( A
( ball `  D )
( F `  A
) ) )
245, 23eqsstrd 3382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
2524expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A )  e.  RR  ->  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
266adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
278adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  B  e.  X )
28 metdscn.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2928metdsf 18878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  F : X
--> ( 0 [,]  +oo ) )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  F : X --> ( 0 [,]  +oo ) )
3130, 10ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
32 elxrge0 11008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( F `  A )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( F `  A
) ) )
3332simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
3431, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  e.  RR* )
3534adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( F `  A
)  e.  RR* )
36 xmetcl 18361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
376, 10, 8, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  e.  RR* )
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( A D B )  e.  RR* )
3938xnegcld 10879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  ->  - e ( A D B )  e.  RR* )
4035, 39xaddcld 10880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  e. 
RR* )
4140adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  e.  RR* )
42 pnfxr 10713 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  +oo  e.  RR* )
44 pnfge 10727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  A
) + e  - e ( A D B ) )  e. 
RR*  ->  ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) )  <_  +oo )
4541, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  <_  +oo )
46 ssbl 18453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  X )  /\  (
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  e. 
RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) )  <_  +oo )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  C_  ( B ( ball `  D
)  +oo ) )
4726, 27, 41, 43, 45, 46syl221anc 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) ) 
C_  ( B (
ball `  D )  +oo ) )
48 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( F `  A )  =  +oo )
4948oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( A
( ball `  D )
( F `  A
) )  =  ( A ( ball `  D
)  +oo ) )
5010adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  A  e.  X )
51 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( A D B )  e.  RR )
52 xblpnf 18426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( B  e.  ( A ( ball `  D )  +oo )  <->  ( B  e.  X  /\  ( A D B )  e.  RR ) ) )
5326, 50, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( B  e.  ( A ( ball `  D )  +oo )  <->  ( B  e.  X  /\  ( A D B )  e.  RR ) ) )
5427, 51, 53mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  B  e.  ( A ( ball `  D
)  +oo ) )
55 blpnfctr 18466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  ( A ( ball `  D
)  +oo ) )  -> 
( A ( ball `  D )  +oo )  =  ( B (
ball `  D )  +oo ) )
5626, 50, 54, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( A
( ball `  D )  +oo )  =  ( B ( ball `  D
)  +oo ) )
5749, 56eqtr2d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( B
( ball `  D )  +oo )  =  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
5847, 57sseqtrd 3384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( ( A D B )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  =  +oo )
)  ->  ( B
( ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) ) 
C_  ( A (
ball `  D )
( F `  A
) ) )
5958expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A )  =  +oo  ->  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
6032simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  ( F `  A
) )
6131, 60syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F `  A ) )
62 ge0nemnf 10761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( F `  A
) )  ->  ( F `  A )  =/=  -oo )
6334, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  =/=  -oo )
6434, 63jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  e.  RR*  /\  ( F `  A
)  =/=  -oo )
)
6564adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A )  e.  RR*  /\  ( F `  A
)  =/=  -oo )
)
66 xrnemnf 10718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  RR*  /\  ( F `  A )  =/=  -oo )  <->  ( ( F `  A )  e.  RR  \/  ( F `
 A )  = 
+oo ) )
6765, 66sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( ( F `  A )  e.  RR  \/  ( F `  A
)  =  +oo )
)
6825, 59, 67mpjaod 371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  e.  RR )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
69 pnfnlt 10725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  A )  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  ( F `  A
) )
7034, 69syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  -.  +oo  <  ( F `  A ) )
7170adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  =  +oo )  ->  -.  +oo  <  ( F `  A ) )
7237xnegcld 10879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  - e ( A D B )  e.  RR* )
7334, 72xaddcld 10880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  e. 
RR* )
74 xbln0 18444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  ( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  e. 
RR* )  ->  (
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  =/=  (/) 
<->  0  <  ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) ) )
756, 8, 73, 74syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) )  =/=  (/)  <->  0  <  (
( F `  A
) + e  - e ( A D B ) ) ) )
76 xposdif 10841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  (
( A D B )  <  ( F `
 A )  <->  0  <  ( ( F `  A
) + e  - e ( A D B ) ) ) )
7737, 34, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B )  <  ( F `  A )  <->  0  <  ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) ) ) )
7875, 77bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) )  =/=  (/)  <->  ( A D B )  <  ( F `  A )
) )
79 breq1 4215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A D B )  =  +oo  ->  (
( A D B )  <  ( F `
 A )  <->  +oo  <  ( F `  A )
) )
8078, 79sylan9bb 681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  =  +oo )  -> 
( ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) )  =/=  (/)  <->  +oo  <  ( F `  A ) ) )
8180necon1bbid 2658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  =  +oo )  -> 
( -.  +oo  <  ( F `  A )  <-> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  =  (/) ) )
8271, 81mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  =  +oo )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  =  (/) )
83 0ss 3656 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )
8482, 83syl6eqss 3398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  /\  ( A D B )  =  +oo )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
85 xmetge0 18374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
866, 10, 8, 85syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( A D B ) )
87 ge0nemnf 10761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( A D B ) )  ->  ( A D B )  =/= 
-oo )
8837, 86, 87syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  =/=  -oo )
8937, 88jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( A D B )  =/=  -oo )
)
90 xrnemnf 10718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  ( A D B )  =/= 
-oo )  <->  ( ( A D B )  e.  RR  \/  ( A D B )  = 
+oo ) )
9189, 90sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( A D B )  e.  RR  \/  ( A D B )  =  +oo )
)
9268, 84, 91mpjaodan 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )
93 sslin 3567 . . . . . 6  |-  ( ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) ) )  C_  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) )  -> 
( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) ) ) )  C_  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
9492, 93syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) ) ) )  C_  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) ) )
95 xrleid 10743 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  RR*  ->  ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
) )
9634, 95syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( F `  A ) )
97 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  S  C_  X )
9828metdsge 18879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  ( ( F `
 A )  <_ 
( F `  A
)  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
996, 97, 10, 34, 98syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A )  <_  ( F `  A )  <->  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) ) )
10096, 99mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) )
101 sseq0 3659 . . . . 5  |-  ( ( ( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) ) ) )  C_  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  /\  ( S  i^i  ( A ( ball `  D
) ( F `  A ) ) )  =  (/) )  ->  ( S  i^i  ( B (
ball `  D )
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) ) ) )  =  (/) )
10294, 100, 101syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( S  i^i  ( B ( ball `  D
) ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) ) ) )  =  (/) )
10328metdsge 18879 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) )  <_  ( F `  B )  <->  ( S  i^i  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) ) )  =  (/) ) )
1046, 97, 8, 73, 103syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) )  <_  ( F `  B )  <->  ( S  i^i  ( B ( ball `  D ) ( ( F `  A ) + e  - e
( A D B ) ) ) )  =  (/) ) )
105102, 104mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  <_ 
( F `  B
) )
10630, 8ffvelrnd 5871 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
107 elxrge0 11008 . . . . . 6  |-  ( ( F `  B )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) )
108107simplbi 447 . . . . 5  |-  ( ( F `  B )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( F `  B )  e.  RR* )
109106, 108syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  B
)  e.  RR* )
110107simprbi 451 . . . . 5  |-  ( ( F `  B )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  ( F `  B
) )
111106, 110syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( F `  B ) )
112 xlesubadd 10842 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  A )  e.  RR*  /\  ( A D B )  e.  RR*  /\  ( F `  B )  e.  RR* )  /\  (
0  <_  ( F `  A )  /\  ( A D B )  =/= 
-oo  /\  0  <_  ( F `  B ) ) )  ->  (
( ( F `  A ) + e  - e ( A D B ) )  <_ 
( F `  B
)  <->  ( F `  A )  <_  (
( F `  B
) + e ( A D B ) ) ) )
11334, 37, 109, 61, 88, 111, 112syl33anc 1199 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 A ) + e  - e ( A D B ) )  <_  ( F `  B )  <->  ( F `  A )  <_  (
( F `  B
) + e ( A D B ) ) ) )
114105, 113mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( ( F `  B ) + e ( A D B ) ) )
115 xaddcom 10824 . . 3  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR* )  ->  (
( F `  B
) + e ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) + e ( F `
 B ) ) )
116109, 37, 115syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( F `  B ) + e
( A D B ) )  =  ( ( A D B ) + e ( F `  B ) ) )
117114, 116breqtrd 4236 1  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  S  C_  X
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( F `  A
)  <_  ( ( A D B ) + e ( F `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990    +oocpnf 9117    -oocmnf 9118   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    - ecxne 10707   + ecxad 10708   [,]cicc 10919   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688
This theorem is referenced by:  metdsle  18882  metdscnlem  18885  metnrmlem1  18889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-ec 6907  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-bl 16697
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