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Theorem metf1o 26359
Description: Use a bijection with a metric space to construct a metric on a set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
metf1o.2  |-  N  =  ( x  e.  Y ,  y  e.  Y  |->  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
metf1o  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
Distinct variable groups:    x, M, y    x, X, y    x, Y, y    x, F, y   
x, A, y
Allowed substitution hints:    N( x, y)

Proof of Theorem metf1o
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of 5641 . . . . . . 7  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  F : Y
--> X )
2 ffvelrn 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Y --> X  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  x
)  e.  X )
32ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  -> 
( x  e.  Y  ->  ( F `  x
)  e.  X ) )
4 ffvelrn 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Y --> X  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  y
)  e.  X )
54ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  -> 
( y  e.  Y  ->  ( F `  y
)  e.  X ) )
63, 5anim12d 547 . . . . . . 7  |-  ( F : Y --> X  -> 
( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  x
)  e.  X  /\  ( F `  y )  e.  X ) ) )
71, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( ( F `  x )  e.  X  /\  ( F `  y
)  e.  X ) ) )
8 metcl 18323 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  x )  e.  X  /\  ( F `  y )  e.  X )  ->  (
( F `  x
) M ( F `
 y ) )  e.  RR )
983expib 1156 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( (
( F `  x
)  e.  X  /\  ( F `  y )  e.  X )  -> 
( ( F `  x ) M ( F `  y ) )  e.  RR ) )
107, 9sylan9r 640 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  (
( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
)  ->  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) )  e.  RR ) )
11103adant1 975 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  (
( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
)  ->  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) )  e.  RR ) )
1211ralrimivv 2765 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) )  e.  RR )
13 metf1o.2 . . . 4  |-  N  =  ( x  e.  Y ,  y  e.  Y  |->  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) ) )
1413fmpt2 6385 . . 3  |-  ( A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  (
( F `  x
) M ( F `
 y ) )  e.  RR  <->  N :
( Y  X.  Y
) --> RR )
1512, 14sylib 189 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR )
16 fveq2 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  ( F `  x )  =  ( F `  u ) )
1716oveq1d 6063 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
( F `  x
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 u ) M ( F `  y
) ) )
18 fveq2 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
1918oveq2d 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) ) )
20 ovex 6073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  e. 
_V
2117, 19, 13, 20ovmpt2 6176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( u N v )  =  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) ) )
2221eqeq1d 2420 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( u N v )  =  0  <-> 
( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  =  0 ) )
2322adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( u N v )  =  0  <-> 
( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  =  0 ) )
24 ffvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : Y --> X  /\  u  e.  Y )  ->  ( F `  u
)  e.  X )
2524ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  -> 
( u  e.  Y  ->  ( F `  u
)  e.  X ) )
26 ffvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : Y --> X  /\  v  e.  Y )  ->  ( F `  v
)  e.  X )
2726ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  -> 
( v  e.  Y  ->  ( F `  v
)  e.  X ) )
2825, 27anim12d 547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  -> 
( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  (
( F `  u
)  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) ) )
291, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X ) ) )
3029imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Y -1-1-onto-> X  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  u
)  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) )
3130adantll 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X ) )
32 meteq0 18330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X )  ->  (
( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  =  0  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
33323expb 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  u
)  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) )  ->  ( ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  =  0  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
3433adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) )  =  0  <-> 
( F `  u
)  =  ( F `
 v ) ) )
3531, 34syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) )  =  0  <-> 
( F `  u
)  =  ( F `
 v ) ) )
36 f1of1 5640 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  F : Y -1-1-> X )
37 f1fveq 5975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Y -1-1-> X  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 v )  <->  u  =  v ) )
3836, 37sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : Y -1-1-onto-> X  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 v )  <->  u  =  v ) )
3938adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <-> 
u  =  v ) )
4023, 35, 393bitrd 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( u N v )  =  0  <-> 
u  =  v ) )
41 ffvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : Y --> X  /\  w  e.  Y )  ->  ( F `  w
)  e.  X )
4241ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : Y --> X  -> 
( w  e.  Y  ->  ( F `  w
)  e.  X ) )
4328, 42anim12d 547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Y --> X  -> 
( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  /\  w  e.  Y )  ->  (
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
) ) )
441, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  ( (
( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
) ) )
4544imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Y -1-1-onto-> X  /\  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( F `
 u )  e.  X  /\  ( F `
 v )  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X ) )
4645adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  /\  w  e.  Y
) )  ->  (
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
) )
47 mettri2 18332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  w
)  e.  X  /\  ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_  ( (
( F `  w
) M ( F `
 u ) )  +  ( ( F `
 w ) M ( F `  v
) ) ) )
4847expcom 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  X  /\  ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X )  ->  ( M  e.  ( Met `  X )  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 v ) )  <_  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) ) )
49483expb 1154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  X  /\  ( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X ) )  ->  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_ 
( ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) )  +  ( ( F `  w
) M ( F `
 v ) ) ) ) )
5049ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
)  ->  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_ 
( ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) )  +  ( ( F `  w
) M ( F `
 v ) ) ) ) )
5150impcom 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
) )  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 v ) )  <_  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
5251adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( (
( F `  u
)  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X ) )  ->  ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) )  <_  (
( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
5346, 52syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  /\  w  e.  Y
) )  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 v ) )  <_  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
5453anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  F : Y
-1-1-onto-> X )  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 v ) )  <_  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
5521adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
u N v )  =  ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) ) )
56 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
5756oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  y
) ) )
58 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
5958oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  u  ->  (
( F `  w
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) ) )
60 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  e. 
_V
6157, 59, 13, 60ovmpt2 6176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( w N u )  =  ( ( F `  w ) M ( F `  u ) ) )
6261ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Y  /\  w  e.  Y )  ->  ( w N u )  =  ( ( F `  w ) M ( F `  u ) ) )
6362adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
w N u )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) ) )
6418oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  w
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  v
) ) )
65 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) )  e. 
_V
6657, 64, 13, 65ovmpt2 6176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( w N v )  =  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) )
6766ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Y  /\  w  e.  Y )  ->  ( w N v )  =  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) )
6867adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
w N v )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  v
) ) )
6963, 68oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( w N u )  +  ( w N v ) )  =  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
7055, 69breq12d 4193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( u N v )  <_  ( (
w N u )  +  ( w N v ) )  <->  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_ 
( ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) )  +  ( ( F `  w
) M ( F `
 v ) ) ) ) )
7170adantll 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  F : Y
-1-1-onto-> X )  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( u N v )  <_  ( (
w N u )  +  ( w N v ) )  <->  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_ 
( ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) )  +  ( ( F `  w
) M ( F `
 v ) ) ) ) )
7254, 71mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  F : Y
-1-1-onto-> X )  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
u N v )  <_  ( ( w N u )  +  ( w N v ) ) )
7372ralrimiva 2757 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  ->  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  ( (
w N u )  +  ( w N v ) ) )
7440, 73jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( ( u N v )  =  0  <->  u  =  v
)  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_ 
( ( w N u )  +  ( w N v ) ) ) )
75743adantl1 1113 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  ->  ( (
( u N v )  =  0  <->  u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  ( ( w N u )  +  ( w N v ) ) ) )
7675ex 424 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  (
( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  ->  ( (
( u N v )  =  0  <->  u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  ( ( w N u )  +  ( w N v ) ) ) ) )
7776ralrimivv 2765 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( (
( u N v )  =  0  <->  u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  ( ( w N u )  +  ( w N v ) ) ) )
78 ismet 18314 . . 3  |-  ( Y  e.  A  ->  ( N  e.  ( Met `  Y )  <->  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  (
( ( u N v )  =  0  <-> 
u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  (
( w N u )  +  ( w N v ) ) ) ) ) )
79783ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  ( N  e.  ( Met `  Y )  <->  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  (
( ( u N v )  =  0  <-> 
u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  (
( w N u )  +  ( w N v ) ) ) ) ) )
8015, 77, 79mpbir2and 889 1  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   class class class wbr 4180    X. cxp 4843   -->wf 5417   -1-1->wf1 5418   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    e. cmpt2 6050   RRcr 8953   0cc0 8954    + caddc 8957    <_ cle 9085   Metcme 16650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-mulcl 9016  ax-i2m1 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-xadd 10675  df-xmet 16658  df-met 16659
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