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Theorem methaus 18118
Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
methaus  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )

Proof of Theorem methaus
Dummy variables  n  d  x  y  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnex 18117 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
3 metxmet 17951 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  d  e.  ( * Met `  X
) )
43ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
d  e.  ( * Met `  X ) )
5 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  X )
6 metcl 17949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x d y )  e.  RR )
763expb 1152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x
d y )  e.  RR )
87adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  e.  RR )
9 metgt0 17975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =/=  y  <->  0  <  ( x d y ) ) )
1093expb 1152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x  =/=  y  <->  0  <  (
x d y ) ) )
1110biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
0  <  ( x
d y ) )
128, 11elrpd 10435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  e.  RR+ )
1312rphalfcld 10449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x d y )  /  2
)  e.  RR+ )
1413rpxrd 10438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x d y )  /  2
)  e.  RR* )
15 eqid 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  d )  =  (
MetOpen `  d )
1615blopn 18098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
174, 5, 14, 16syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
18 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
y  e.  X )
1915blopn 18098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
204, 18, 14, 19syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
21 blcntr 18016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )
224, 5, 13, 21syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  ( x
( ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) ) )
23 blcntr 18016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )
244, 18, 13, 23syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
y  e.  ( y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )
2513rpred 10437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x d y )  /  2
)  e.  RR )
26 rexadd 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( x d y )  /  2 ) + e ( ( x d y )  / 
2 ) )  =  ( ( ( x d y )  / 
2 )  +  ( ( x d y )  /  2 ) ) )
2725, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 ) + e
( ( x d y )  /  2
) )  =  ( ( ( x d y )  /  2
)  +  ( ( x d y )  /  2 ) ) )
288recnd 8906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  e.  CC )
29282halvesd 10004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 )  +  ( ( x d y )  /  2 ) )  =  ( x d y ) )
3027, 29eqtrd 2348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 ) + e
( ( x d y )  /  2
) )  =  ( x d y ) )
318leidd 9384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  <_  ( x
d y ) )
3230, 31eqbrtrd 4080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 ) + e
( ( x d y )  /  2
) )  <_  (
x d y ) )
33 bldisj 18007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( (
( x d y )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( x d y )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( ( x d y )  /  2
) + e ( ( x d y )  /  2 ) )  <_  ( x
d y ) ) )  ->  ( (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) )  =  (/) )
344, 5, 18, 14, 14, 32, 33syl33anc 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )  =  (/) )
35 eleq2 2377 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
x  e.  m  <->  x  e.  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) ) )
36 ineq1 3397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
m  i^i  n )  =  ( ( x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  n ) )
3736eqeq1d 2324 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  n )  =  (/) ) )
3835, 373anbi13d 1254 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  /\  y  e.  n  /\  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
39 eleq2 2377 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
y  e.  n  <->  y  e.  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) ) )
40 ineq2 3398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  i^i  n )  =  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) ) )
4140eqeq1d 2324 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) )  =  (/) ) )
4239, 413anbi23d 1255 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( x  e.  ( x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  /\  y  e.  n  /\  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  /\  y  e.  ( y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  /\  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )  =  (/) ) ) )
4338, 42rspc2ev 2926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
)  /\  ( y
( ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  e.  (
MetOpen `  d )  /\  ( x  e.  (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( y
( ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  /\  (
( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) ) )  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
4417, 20, 22, 24, 34, 43syl113anc 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  ->  E. m  e.  ( MetOpen
`  d ) E. n  e.  ( MetOpen `  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
4544ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
4645ralrimivva 2669 . . . . 5  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
4715mopntopon 18037 . . . . . 6  |-  ( d  e.  ( * Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  d )  e.  (TopOn `  X )
)
48 ishaus2 17135 . . . . . 6  |-  ( (
MetOpen `  d )  e.  (TopOn `  X )  ->  ( ( MetOpen `  d
)  e.  Haus  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
493, 47, 483syl 18 . . . . 5  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( MetOpen
`  d )  e. 
Haus 
<-> 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (
MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen `  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5046, 49mpbird 223 . . . 4  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  ( MetOpen `  d )  e.  Haus )
51 eleq1 2376 . . . 4  |-  ( J  =  ( MetOpen `  d
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  ( MetOpen `  d
)  e.  Haus )
)
5250, 51syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  ( J  =  ( MetOpen `  d
)  ->  J  e.  Haus ) )
5352rexlimiv 2695 . 2  |-  ( E. d  e.  ( Met `  X ) J  =  ( MetOpen `  d )  ->  J  e.  Haus )
542, 53syl 15 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578    i^i cin 3185   (/)c0 3489   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   RRcr 8781   0cc0 8782    + caddc 8785   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913    / cdiv 9468   2c2 9840   RR+crp 10401   + ecxad 10497   * Metcxmt 16418   Metcme 16419   ballcbl 16420   MetOpencmopn 16423  TopOnctopon 16688   Hauscha 17092
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  18346  rehaus  18357  metreg  18419  lmcau  18791  cmetss  18793  minveclem4a  18847  minvecolem4a  21511  minvecolem4b  21512  minvecolem4  21514  hlimf  21872  hmopidmchi  22786  heiborlem9  25691  bfplem1  25694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-icc 10710  df-topgen 13393  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-haus 17099
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