MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrm Unicode version

Theorem metnrm 18366
Description: A metric space is normal. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metnrm.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metnrm  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Nrm )

Proof of Theorem metnrm
Dummy variables  t 
s  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metnrm.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 17986 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 simp2l 981 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  x  e.  (
Clsd `  J )
)
6 simp2r 982 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  (
Clsd `  J )
)
7 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  y )  =  (/) )
8 eqid 2283 . . . . 5  |-  U_ s  e.  y  ( s
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s ) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s ) )  / 
2 ) )  = 
U_ s  e.  y  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  (
( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s
) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s
) )  /  2
) )
9 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
10 eqid 2283 . . . . 5  |-  U_ t  e.  x  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t ) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t ) )  / 
2 ) )  = 
U_ t  e.  x  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  (
( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t
) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t
) )  /  2
) )
113, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10metnrmlem3 18365 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
12113expia 1153 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
) )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
1312ralrimivva 2635 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  J
) A. y  e.  ( Clsd `  J
) ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
14 isnrm3 17087 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J
) A. y  e.  ( Clsd `  J
) ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) ) ) )
152, 13, 14sylanbrc 645 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Nrm )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   1c1 8738   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372   Topctop 16631   Clsdccld 16753   Nrmcnrm 17038
This theorem is referenced by:  metreg  18367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nrm 17045
  Copyright terms: Public domain W3C validator