MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrm Unicode version

Theorem metnrm 18418
Description: A metric space is normal. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metnrm.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metnrm  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Nrm )

Proof of Theorem metnrm
Dummy variables  t 
s  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metnrm.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 18038 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 simp2l 981 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  x  e.  (
Clsd `  J )
)
6 simp2r 982 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  (
Clsd `  J )
)
7 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  y )  =  (/) )
8 eqid 2316 . . . . 5  |-  U_ s  e.  y  ( s
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s ) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s ) )  / 
2 ) )  = 
U_ s  e.  y  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  (
( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s
) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s
) )  /  2
) )
9 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
10 eqid 2316 . . . . 5  |-  U_ t  e.  x  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t ) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t ) )  / 
2 ) )  = 
U_ t  e.  x  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  (
( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t
) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t
) )  /  2
) )
113, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10metnrmlem3 18417 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
12113expia 1153 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
) )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
1312ralrimivva 2669 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  J
) A. y  e.  ( Clsd `  J
) ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
14 isnrm3 17143 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J
) A. y  e.  ( Clsd `  J
) ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) ) ) )
152, 13, 14sylanbrc 645 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Nrm )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ifcif 3599   U_ciun 3942   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   `'ccnv 4725   ran crn 4727   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   supcsup 7238   1c1 8783   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913    / cdiv 9468   2c2 9840   * Metcxmt 16418   ballcbl 16420   MetOpencmopn 16423   Topctop 16687   Clsdccld 16809   Nrmcnrm 17094
This theorem is referenced by:  metreg  18419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-ec 6704  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-icc 10710  df-topgen 13393  df-xmet 16425  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nrm 17101
  Copyright terms: Public domain W3C validator