MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrm Structured version   Unicode version

Theorem metnrm 18892
Description: A metric space is normal. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metnrm.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metnrm  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Nrm )

Proof of Theorem metnrm
Dummy variables  t 
s  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metnrm.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 18470 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 simp2l 983 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  x  e.  (
Clsd `  J )
)
6 simp2r 984 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  (
Clsd `  J )
)
7 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  y )  =  (/) )
8 eqid 2436 . . . . 5  |-  U_ s  e.  y  ( s
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s ) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s ) )  / 
2 ) )  = 
U_ s  e.  y  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  (
( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s
) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  x  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  s
) )  /  2
) )
9 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
10 eqid 2436 . . . . 5  |-  U_ t  e.  x  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t ) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  ( v  e.  y 
|->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t ) )  / 
2 ) )  = 
U_ t  e.  x  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  (
( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t
) ,  1 ,  ( ( u  e.  X  |->  sup ( ran  (
v  e.  y  |->  ( u D v ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  t
) )  /  2
) )
113, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10metnrmlem3 18891 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
12113expia 1155 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  /\  y  e.  ( Clsd `  J )
) )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
1312ralrimivva 2798 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  J
) A. y  e.  ( Clsd `  J
) ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
14 isnrm3 17423 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J
) A. y  e.  ( Clsd `  J
) ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( x  C_  z  /\  y  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) ) ) )
152, 13, 14sylanbrc 646 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Nrm )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   U_ciun 4093   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   1c1 8991   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   2c2 10049   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688   MetOpencmopn 16691   Topctop 16958   Clsdccld 17080   Nrmcnrm 17374
This theorem is referenced by:  metreg  18893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-ec 6907  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nrm 17381
  Copyright terms: Public domain W3C validator