Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1 Structured version   Unicode version

Theorem metnrmlem1 18879
 Description: Lemma for metnrm 18882. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f
metdscn.j
metnrmlem.1
metnrmlem.2
metnrmlem.3
metnrmlem.4
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem metnrmlem1
StepHypRef Expression
1 1re 9080 . . . 4
21rexri 9127 . . 3
3 metnrmlem.1 . . . . . . 7
43adantr 452 . . . . . 6
5 metnrmlem.2 . . . . . . . . 9
65adantr 452 . . . . . . . 8
7 eqid 2435 . . . . . . . . 9
87cldss 17083 . . . . . . . 8
96, 8syl 16 . . . . . . 7
10 metdscn.j . . . . . . . . 9
1110mopnuni 18461 . . . . . . . 8
124, 11syl 16 . . . . . . 7
139, 12sseqtr4d 3377 . . . . . 6
14 metdscn.f . . . . . . 7
1514metdsf 18868 . . . . . 6
164, 13, 15syl2anc 643 . . . . 5
17 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9
1817adantr 452 . . . . . . . 8
197cldss 17083 . . . . . . . 8
2018, 19syl 16 . . . . . . 7
2120, 12sseqtr4d 3377 . . . . . 6
22 simprr 734 . . . . . 6
2321, 22sseldd 3341 . . . . 5
2416, 23ffvelrnd 5863 . . . 4
25 elxrge0 10998 . . . . 5
2625simplbi 447 . . . 4
2724, 26syl 16 . . 3
28 ifcl 3767 . . 3
292, 27, 28sylancr 645 . 2
30 simprl 733 . . . 4
3113, 30sseldd 3341 . . 3
32 xmetcl 18351 . . 3
334, 31, 23, 32syl3anc 1184 . 2
34 xrmin2 10756 . . 3
352, 27, 34sylancr 645 . 2
3614metdstri 18871 . . . 4
374, 13, 23, 31, 36syl22anc 1185 . . 3
38 xmetsym 18367 . . . . . 6
394, 23, 31, 38syl3anc 1184 . . . . 5
4014metds0 18870 . . . . . 6
414, 13, 30, 40syl3anc 1184 . . . . 5
4239, 41oveq12d 6091 . . . 4
43 xaddid1 10815 . . . . 5
4433, 43syl 16 . . . 4
4542, 44eqtrd 2467 . . 3
4637, 45breqtrd 4228 . 2
4729, 27, 33, 35, 46xrletrd 10742 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cif 3731  cuni 4007   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4869   crn 4871  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  csup 7437  cc0 8980  c1 8981   cpnf 9107  cxr 9109   clt 9110   cle 9111  cxad 10698  cicc 10909  cxmt 16676  cmopn 16681  ccld 17070 This theorem is referenced by:  metnrmlem3  18881 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-icc 10913  df-topgen 13657  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-cld 17073
 Copyright terms: Public domain W3C validator