Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1 Unicode version

Theorem metnrmlem1 18379
 Description: Lemma for metnrm 18382. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f
metdscn.j
metnrmlem.1
metnrmlem.2
metnrmlem.3
metnrmlem.4
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem metnrmlem1
StepHypRef Expression
1 1re 8853 . . . 4
2 rexr 8893 . . . 4
31, 2ax-mp 8 . . 3
4 metnrmlem.1 . . . . . . 7
54adantr 451 . . . . . 6
6 metnrmlem.2 . . . . . . . . 9
76adantr 451 . . . . . . . 8
8 eqid 2296 . . . . . . . . 9
98cldss 16782 . . . . . . . 8
107, 9syl 15 . . . . . . 7
11 metdscn.j . . . . . . . . 9
1211mopnuni 18003 . . . . . . . 8
135, 12syl 15 . . . . . . 7
1410, 13sseqtr4d 3228 . . . . . 6
15 metdscn.f . . . . . . 7
1615metdsf 18368 . . . . . 6
175, 14, 16syl2anc 642 . . . . 5
18 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9
1918adantr 451 . . . . . . . 8
208cldss 16782 . . . . . . . 8
2119, 20syl 15 . . . . . . 7
2221, 13sseqtr4d 3228 . . . . . 6
23 simprr 733 . . . . . 6
2422, 23sseldd 3194 . . . . 5
25 ffvelrn 5679 . . . . 5
2617, 24, 25syl2anc 642 . . . 4
27 elxrge0 10763 . . . . 5
2827simplbi 446 . . . 4
2926, 28syl 15 . . 3
30 ifcl 3614 . . 3
313, 29, 30sylancr 644 . 2
32 simprl 732 . . . 4
3314, 32sseldd 3194 . . 3
34 xmetcl 17912 . . 3
355, 33, 24, 34syl3anc 1182 . 2
36 xrmin2 10523 . . 3
373, 29, 36sylancr 644 . 2
3815metdstri 18371 . . . 4
395, 14, 24, 33, 38syl22anc 1183 . . 3
40 xmetsym 17928 . . . . . 6
415, 24, 33, 40syl3anc 1182 . . . . 5
4215metds0 18370 . . . . . 6
435, 14, 32, 42syl3anc 1182 . . . . 5
4441, 43oveq12d 5892 . . . 4
45 xaddid1 10582 . . . . 5
4635, 45syl 15 . . . 4
4744, 46eqtrd 2328 . . 3
4839, 47breqtrd 4063 . 2
4931, 29, 35, 37, 48xrletrd 10509 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cif 3578  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   cpnf 8880  cxr 8882   clt 8883   cle 8884  cxad 10466  cicc 10675  cxmt 16385  cmopn 16388  ccld 16769 This theorem is referenced by:  metnrmlem3  18381 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-ec 6678  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772
 Copyright terms: Public domain W3C validator