MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1a Structured version   Unicode version

Theorem metnrmlem1a 18888
Description: Lemma for metnrm 18892. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metnrmlem.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
metnrmlem.2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1a  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  A )  /\  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR+ )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, D, y    y, J    x, T, y    x, S, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)    J( x)

Proof of Theorem metnrmlem1a
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  ( S  i^i  T )  =  (/) )
3 inelcm 3682 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  A  e.  T )  ->  ( S  i^i  T
)  =/=  (/) )
43expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  T  ->  ( A  e.  S  ->  ( S  i^i  T )  =/=  (/) ) )
54adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  ( A  e.  S  ->  ( S  i^i  T )  =/=  (/) ) )
65necon2bd 2653 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
( S  i^i  T
)  =  (/)  ->  -.  A  e.  S )
)
72, 6mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  -.  A  e.  S )
8 eqcom 2438 . . . . . 6  |-  ( 0  =  ( F `  A )  <->  ( F `  A )  =  0 )
9 metnrmlem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
109adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
11 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
1211adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  S  e.  ( Clsd `  J
) )
13 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
1413cldss 17093 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
1512, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  S  C_ 
U. J )
16 metdscn.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1716mopnuni 18471 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
1810, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  X  =  U. J )
1915, 18sseqtr4d 3385 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  S  C_  X )
20 metnrmlem.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
2120adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  T  e.  ( Clsd `  J
) )
2213cldss 17093 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  ( Clsd `  J
)  ->  T  C_  U. J
)
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  T  C_ 
U. J )
2423, 18sseqtr4d 3385 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  T  C_  X )
25 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  T )
2624, 25sseldd 3349 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  A  e.  X )
27 metdscn.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2827, 16metdseq0 18884 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( F `  A )  =  0  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
2910, 19, 26, 28syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
( F `  A
)  =  0  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
308, 29syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  =  ( F `
 A )  <->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
31 cldcls 17106 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  S )
3212, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  =  S )
3332eleq2d 2503 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  A  e.  S ) )
3430, 33bitrd 245 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  =  ( F `
 A )  <->  A  e.  S ) )
357, 34mtbird 293 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  -.  0  =  ( F `  A ) )
3627metdsf 18878 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  F : X
--> ( 0 [,]  +oo ) )
3710, 19, 36syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  F : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
3837, 26ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  ( F `  A )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
39 elxrge0 11008 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( F `  A )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( F `  A
) ) )
4039simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  ( F `  A
) )
4138, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  0  <_  ( F `  A
) )
42 0xr 9131 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4339simplbi 447 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
4438, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  ( F `  A )  e.  RR* )
45 xrleloe 10737 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( F `  A )  <->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) ) )
4642, 44, 45sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  <_  ( F `  A )  <->  ( 0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) ) )
4741, 46mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  A )  \/  0  =  ( F `  A ) ) )
4847ord 367 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  ( -.  0  <  ( F `
 A )  -> 
0  =  ( F `
 A ) ) )
4935, 48mt3d 119 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  0  <  ( F `  A
) )
50 1re 9090 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
5150rexri 9137 . . . . 5  |-  1  e.  RR*
52 ifcl 3775 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR* )
5351, 44, 52sylancr 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR* )
5450a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  1  e.  RR )
55 0lt1 9550 . . . . . 6  |-  0  <  1
56 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( 1  =  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  -> 
( 0  <  1  <->  0  <  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) ) ) )
57 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  =  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  -> 
( 0  <  ( F `  A )  <->  0  <  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) ) ) )
5856, 57ifboth 3770 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <  1  /\  0  <  ( F `
 A ) )  ->  0  <  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) ) )
5955, 49, 58sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  0  <  if ( 1  <_ 
( F `  A
) ,  1 ,  ( F `  A
) ) )
60 xrltle 10742 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR* )  ->  ( 0  <  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  ->  0  <_  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) ) ) )
6142, 53, 60sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  <  if (
1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  -> 
0  <_  if (
1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) ) ) )
6259, 61mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  0  <_  if ( 1  <_ 
( F `  A
) ,  1 ,  ( F `  A
) ) )
63 xrmin1 10765 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  ( F `  A )  e.  RR* )  ->  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  <_  1 )
6451, 44, 63sylancr 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  <_  1 )
65 xrrege0 10762 . . . 4  |-  ( ( ( if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e. 
RR*  /\  1  e.  RR )  /\  (
0  <_  if (
1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  /\  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  <_  1 ) )  ->  if (
1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR )
6653, 54, 62, 64, 65syl22anc 1185 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR )
6766, 59elrpd 10646 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR+ )
6849, 67jca 519 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  A )  /\  if ( 1  <_  ( F `  A ) ,  1 ,  ( F `  A ) )  e.  RR+ )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   RR+crp 10612   [,]cicc 10919   * Metcxmt 16686   MetOpencmopn 16691   Clsdccld 17080   clsccl 17082
This theorem is referenced by:  metnrmlem2  18890  metnrmlem3  18891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085
  Copyright terms: Public domain W3C validator