MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem2 Structured version   Unicode version

Theorem metnrmlem2 18890
Description: Lemma for metnrm 18892. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metnrmlem.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
metnrmlem.2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
metnrmlem.u  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metnrmlem2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
Distinct variable groups:    x, y,
t, D    t, J, y    ph, t    t, T, x, y    t, S, x, y    t, X, x, y    t, F
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    U( x, y, t)    F( x, y)    J( x)

Proof of Theorem metnrmlem2
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.u . . 3  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
2 metnrmlem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
3 metdscn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopntop 18470 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
52, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
62adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
8 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
98cldss 17093 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( Clsd `  J
)  ->  T  C_  U. J
)
107, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  C_  U. J )
113mopnuni 18471 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
122, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1310, 12sseqtr4d 3385 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
1413sselda 3348 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  X )
15 metdscn.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
16 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
17 metnrmlem.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
1815, 3, 2, 16, 7, 17metnrmlem1a 18888 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
)
1918simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
2019rphalfcld 10660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR+ )
2120rpxrd 10649 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR* )
223blopn 18530 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR* )  ->  ( t (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )
236, 14, 21, 22syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )
2423ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  e.  J )
25 iunopn 16971 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. t  e.  T  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )  ->  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )
265, 24, 25syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  e.  J )
271, 26syl5eqel 2520 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
28 blcntr 18443 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR+ )  ->  t  e.  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
296, 14, 20, 28syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
3029snssd 3943 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  { t }  C_  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
3130ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  { t }  C_  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
32 ss2iun 4108 . . . 4  |-  ( A. t  e.  T  {
t }  C_  (
t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  ->  U_ t  e.  T  { t }  C_  U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
3331, 32syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ t  e.  T  { t }  C_  U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
34 iunid 4146 . . . 4  |-  U_ t  e.  T  { t }  =  T
3534eqcomi 2440 . . 3  |-  T  = 
U_ t  e.  T  { t }
3633, 35, 13sstr4g 3389 . 2  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
3727, 36jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   {csn 3814   U.cuni 4015   U_ciun 4093   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   0cc0 8990   1c1 8991   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   2c2 10049   RR+crp 10612   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688   MetOpencmopn 16691   Topctop 16958   Clsdccld 17080
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  18891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085
  Copyright terms: Public domain W3C validator