MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem2 Unicode version

Theorem metnrmlem2 18364
Description: Lemma for metnrm 18366. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metnrmlem.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
metnrmlem.2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
metnrmlem.u  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metnrmlem2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
Distinct variable groups:    x, y,
t, D    t, J, y    ph, t    t, T, x, y    t, S, x, y    t, X, x, y    t, F
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    U( x, y, t)    F( x, y)    J( x)

Proof of Theorem metnrmlem2
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.u . . 3  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
2 metnrmlem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
3 metdscn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopntop 17986 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
52, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
62adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
8 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
98cldss 16766 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( Clsd `  J
)  ->  T  C_  U. J
)
107, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  C_  U. J )
113mopnuni 17987 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
122, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1310, 12sseqtr4d 3215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
1413sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  X )
15 metdscn.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
16 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
17 metnrmlem.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
1815, 3, 2, 16, 7, 17metnrmlem1a 18362 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
)
1918simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
2019rphalfcld 10402 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR+ )
2120rpxrd 10391 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR* )
223blopn 18046 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR* )  ->  ( t (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )
236, 14, 21, 22syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )
2423ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  e.  J )
25 iunopn 16644 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. t  e.  T  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )  ->  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  e.  J )
265, 24, 25syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  e.  J )
271, 26syl5eqel 2367 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
28 blcntr 17964 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR+ )  ->  t  e.  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
296, 14, 20, 28syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
3029snssd 3760 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  { t }  C_  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
3130ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  { t }  C_  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
32 ss2iun 3920 . . . 4  |-  ( A. t  e.  T  {
t }  C_  (
t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  ->  U_ t  e.  T  { t }  C_  U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
3331, 32syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ t  e.  T  { t }  C_  U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
34 iunid 3957 . . . 4  |-  U_ t  e.  T  { t }  =  T
3534eqcomi 2287 . . 3  |-  T  = 
U_ t  e.  T  { t }
3633, 35, 13sstr4g 3219 . 2  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
3727, 36jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   {csn 3640   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   0cc0 8737   1c1 8738   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372   Topctop 16631   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  18365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758
  Copyright terms: Public domain W3C validator