MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem3 Unicode version

Theorem metnrmlem3 18365
Description: Lemma for metnrm 18366. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metnrmlem.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
metnrmlem.2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
metnrmlem.u  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
metnrmlem.g  |-  G  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  T  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metnrmlem.v  |-  V  = 
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metnrmlem3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    t, s, w, x, y, z, D    J, s, t, w, y, z    ph, s, t    G, s, t    T, s, t, w, x, y, z    S, s, t, w, x, y, z    U, s, w    X, s, t, w, x, y, z    F, s, t, w, z    w, V, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    U( x, y, z, t)    F( x, y)    G( x, y, z, w)    J( x)    V( x, y, t, s)

Proof of Theorem metnrmlem3
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  T  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2 metdscn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
3 metnrmlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
4 metnrmlem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
5 metnrmlem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
6 incom 3361 . . . . 5  |-  ( T  i^i  S )  =  ( S  i^i  T
)
7 metnrmlem.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
86, 7syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  S
)  =  (/) )
9 metnrmlem.v . . . 4  |-  V  = 
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )
101, 2, 3, 4, 5, 8, 9metnrmlem2 18364 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  e.  J  /\  S  C_  V ) )
1110simpld 445 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
12 metdscn.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
13 metnrmlem.u . . . 4  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
1412, 2, 3, 5, 4, 7, 13metnrmlem2 18364 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
1514simpld 445 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
1610simprd 449 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
1714simprd 449 . 2  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
189ineq1i 3366 . . . 4  |-  ( V  i^i  U )  =  ( U_ s  e.  S  ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )
19 iunin1 3967 . . . 4  |-  U_ s  e.  S  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U )
2018, 19eqtr4i 2306 . . 3  |-  ( V  i^i  U )  = 
U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )
2113ineq2i 3367 . . . . . . . 8  |-  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
22 iunin2 3966 . . . . . . . 8  |-  U_ t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
2321, 22eqtr4i 2306 . . . . . . 7  |-  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  U_ t  e.  T  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
243adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
25 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. J  =  U. J
2625cldss 16766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
275, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
282mopnuni 17987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
293, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
3027, 29sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
3130sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  X )
3231adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
s  e.  X )
3325cldss 16766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  ( Clsd `  J
)  ->  T  C_  U. J
)
344, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  C_  U. J )
3534, 29sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
3635sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  X )
3736adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
t  e.  X )
381, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1a 18362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  (
0  <  ( G `  s )  /\  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
)
3938simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
4039adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
4140rphalfcld 10402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
4241rpxrd 10391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR* )
4312, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1a 18362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
)
4443adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  e.  RR+ ) )
4544simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
4645rphalfcld 10402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
4746rpxrd 10391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR* )
4840rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR )
4948rehalfcld 9958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR )
5045rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR )
5150rehalfcld 9958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR )
52 rexadd 10559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR )  ->  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) + e ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_ 
( G `  s
) ,  1 ,  ( G `  s
) )  /  2
)  +  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
5349, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) + e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  +  ( if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  /  2
) ) )
5448recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  CC )
5550recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  CC )
56 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
5756a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  e.  CC )
58 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
5958a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  =/=  0 )
6054, 55, 57, 59divdird 9574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  +  ( if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  /  2
) ) )
6153, 60eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) + e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )
621, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1 18363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  s  e.  S ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( t D s ) )
6362ancom2s 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( t D s ) )
64 xmetsym 17912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  s  e.  X
)  ->  ( t D s )  =  ( s D t ) )
6524, 37, 32, 64syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( t D s )  =  ( s D t ) )
6663, 65breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( s D t ) )
6712, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1 18363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_  ( s D t ) )
6840rpxrd 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR* )
6945rpxrd 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR* )
70 xmetcl 17896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  s  e.  X  /\  t  e.  X
)  ->  ( s D t )  e. 
RR* )
7124, 32, 37, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( s D t )  e.  RR* )
72 xle2add 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e. 
RR*  /\  if (
1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e. 
RR* )  /\  (
( s D t )  e.  RR*  /\  (
s D t )  e.  RR* ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_ 
( s D t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_ 
( s D t ) )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) + e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  (
( s D t ) + e ( s D t ) ) ) )
7368, 69, 71, 71, 72syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_ 
( s D t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_ 
( s D t ) )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) + e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  (
( s D t ) + e ( s D t ) ) ) )
7466, 67, 73mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) + e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  ( ( s D t ) + e ( s D t ) ) )
7548, 50readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  e.  RR )
7675recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  e.  CC )
7776, 57, 59divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2  x.  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
78 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
7975rehalfcld 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR )
80 rexmul 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR )  ->  ( 2 x e ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) ) )
8178, 79, 80sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 x e ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) ) )
82 rexadd 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( if ( 1  <_ 
( G `  s
) ,  1 ,  ( G `  s
) )  e.  RR  /\  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  e.  RR )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) + e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
8348, 50, 82syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) + e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
8477, 81, 833eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 x e ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) + e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) ) )
85 x2times 10619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s D t )  e.  RR*  ->  ( 2 x e ( s D t ) )  =  ( ( s D t ) + e ( s D t ) ) )
8671, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 x e ( s D t ) )  =  ( ( s D t ) + e ( s D t ) ) )
8774, 84, 863brtr4d 4053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 x e ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  <_ 
( 2 x e ( s D t ) ) )
8879rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR* )
89 2rp 10359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR+
9089a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  e.  RR+ )
91 xlemul2 10611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( s D t )  e.  RR*  /\  2  e.  RR+ )  ->  (
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  <_  (
s D t )  <-> 
( 2 x e ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  <_ 
( 2 x e ( s D t ) ) ) )
9288, 71, 90, 91syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 )  <_ 
( s D t )  <->  ( 2 x e ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 ) )  <_  ( 2 x e ( s D t ) ) ) )
9387, 92mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  <_  (
s D t ) )
9461, 93eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) + e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  <_ 
( s D t ) )
95 bldisj 17955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  s  e.  X  /\  t  e.  X
)  /\  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 )  e.  RR*  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) + e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  <_ 
( s D t ) ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  (/) )
9624, 32, 37, 42, 47, 94, 95syl33anc 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  (/) )
97 eqimss 3230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )  =  (/)  ->  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
9998anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  S )  /\  t  e.  T )  ->  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) ) 
C_  (/) )
10099ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  A. t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
101 iunss 3943 . . . . . . . 8  |-  ( U_ t  e.  T  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) ) 
C_  (/)  <->  A. t  e.  T  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
102100, 101sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  U_ t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
10323, 102syl5eqss 3222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/) )
104103ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
105 iunss 3943 . . . . 5  |-  ( U_ s  e.  S  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/)  <->  A. s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
106104, 105sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
107 ss0 3485 . . . 4  |-  ( U_ s  e.  S  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/)  ->  U_ s  e.  S  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (/) )
108106, 107syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (/) )
10920, 108syl5eq 2327 . 2  |-  ( ph  ->  ( V  i^i  U
)  =  (/) )
110 sseq2 3200 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  ( S  C_  z  <->  S  C_  V
) )
111 ineq1 3363 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
z  i^i  w )  =  ( V  i^i  w ) )
112111eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  (
( z  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( V  i^i  w )  =  (/) ) )
113110, 1123anbi13d 1254 . . 3  |-  ( z  =  V  ->  (
( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( S  C_  V  /\  T  C_  w  /\  ( V  i^i  w )  =  (/) ) ) )
114 sseq2 3200 . . . 4  |-  ( w  =  U  ->  ( T  C_  w  <->  T  C_  U
) )
115 ineq2 3364 . . . . 5  |-  ( w  =  U  ->  ( V  i^i  w )  =  ( V  i^i  U
) )
116115eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( w  =  U  ->  (
( V  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( V  i^i  U )  =  (/) ) )
117114, 1163anbi23d 1255 . . 3  |-  ( w  =  U  ->  (
( S  C_  V  /\  T  C_  w  /\  ( V  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( S  C_  V  /\  T  C_  U  /\  ( V  i^i  U )  =  (/) ) ) )
118113, 117rspc2ev 2892 . 2  |-  ( ( V  e.  J  /\  U  e.  J  /\  ( S  C_  V  /\  T  C_  U  /\  ( V  i^i  U )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
11911, 15, 16, 17, 109, 118syl113anc 1194 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   + ecxad 10450   x ecxmu 10451   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  metnrm  18366
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758
  Copyright terms: Public domain W3C validator