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Theorem metnrmlem3 18922
Description: Lemma for metnrm 18923. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metdscn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metnrmlem.1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
metnrmlem.2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
metnrmlem.4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
metnrmlem.u  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
metnrmlem.g  |-  G  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  T  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
metnrmlem.v  |-  V  = 
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
metnrmlem3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    t, s, w, x, y, z, D    J, s, t, w, y, z    ph, s, t    G, s, t    T, s, t, w, x, y, z    S, s, t, w, x, y, z    U, s, w    X, s, t, w, x, y, z    F, s, t, w, z    w, V, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    U( x, y, z, t)    F( x, y)    G( x, y, z, w)    J( x)    V( x, y, t, s)

Proof of Theorem metnrmlem3
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  T  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2 metdscn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
3 metnrmlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
4 metnrmlem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Clsd `  J ) )
5 metnrmlem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
6 incom 3519 . . . . 5  |-  ( T  i^i  S )  =  ( S  i^i  T
)
7 metnrmlem.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  (/) )
86, 7syl5eq 2486 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  S
)  =  (/) )
9 metnrmlem.v . . . 4  |-  V  = 
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )
101, 2, 3, 4, 5, 8, 9metnrmlem2 18921 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  e.  J  /\  S  C_  V ) )
1110simpld 447 . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
12 metdscn.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  sup ( ran  (
y  e.  S  |->  ( x D y ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
13 metnrmlem.u . . . 4  |-  U  = 
U_ t  e.  T  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )
1412, 2, 3, 5, 4, 7, 13metnrmlem2 18921 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  J  /\  T  C_  U ) )
1514simpld 447 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
1610simprd 451 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
1714simprd 451 . 2  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
189ineq1i 3524 . . . 4  |-  ( V  i^i  U )  =  ( U_ s  e.  S  ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )
19 iunin1 4180 . . . 4  |-  U_ s  e.  S  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (
U_ s  e.  S  ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U )
2018, 19eqtr4i 2465 . . 3  |-  ( V  i^i  U )  = 
U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )
2113ineq2i 3525 . . . . . . . 8  |-  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
22 iunin2 4179 . . . . . . . 8  |-  U_ t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U_ t  e.  T  ( t
( ball `  D )
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
2321, 22eqtr4i 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  U_ t  e.  T  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )
243adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
25 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. J  =  U. J
2625cldss 17124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
275, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
282mopnuni 18502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
3027, 29sseqtr4d 3371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
3130sselda 3334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  X )
3231adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
s  e.  X )
3325cldss 17124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  ( Clsd `  J
)  ->  T  C_  U. J
)
344, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  C_  U. J )
3534, 29sseqtr4d 3371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
3635sselda 3334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  X )
3736adantrl 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
t  e.  X )
381, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1a 18919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  (
0  <  ( G `  s )  /\  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
)
3938simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
4039adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR+ )
4140rphalfcld 10691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
4241rpxrd 10680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR* )
4312, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1a 18919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
)
4443adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 0  <  ( F `  t )  /\  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  e.  RR+ ) )
4544simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR+ )
4645rphalfcld 10691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
4746rpxrd 10680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR* )
4840rpred 10679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR )
4948rehalfcld 10245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR )
5045rpred 10679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR )
5150rehalfcld 10245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR )
52 rexadd 10849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  e.  RR  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 )  e.  RR )  ->  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) + e ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_ 
( G `  s
) ,  1 ,  ( G `  s
) )  /  2
)  +  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )
5349, 51, 52syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) + e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  +  ( if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  /  2
) ) )
5448recnd 9145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  CC )
5550recnd 9145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  CC )
56 2cn 10101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  e.  CC )
58 2ne0 10114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  =/=  0 )
6054, 55, 57, 59divdird 9859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 )  +  ( if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  /  2
) ) )
6153, 60eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) + e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  =  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )
621, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1 18920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  T  /\  s  e.  S ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( t D s ) )
6362ancom2s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( t D s ) )
64 xmetsym 18408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  t  e.  X  /\  s  e.  X
)  ->  ( t D s )  =  ( s D t ) )
6524, 37, 32, 64syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( t D s )  =  ( s D t ) )
6663, 65breqtrd 4261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_  ( s D t ) )
6712, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1 18920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_  ( s D t ) )
6840rpxrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e.  RR* )
6945rpxrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  ->  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e.  RR* )
70 xmetcl 18392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  s  e.  X  /\  t  e.  X
)  ->  ( s D t )  e. 
RR* )
7124, 32, 37, 70syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( s D t )  e.  RR* )
72 xle2add 10869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  e. 
RR*  /\  if (
1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  e. 
RR* )  /\  (
( s D t )  e.  RR*  /\  (
s D t )  e.  RR* ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_ 
( s D t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_ 
( s D t ) )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) + e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  (
( s D t ) + e ( s D t ) ) ) )
7368, 69, 71, 71, 72syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  <_ 
( s D t )  /\  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  <_ 
( s D t ) )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) + e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  (
( s D t ) + e ( s D t ) ) ) )
7466, 67, 73mp2and 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) + e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  <_  ( ( s D t ) + e ( s D t ) ) )
7548, 50readdcld 9146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  e.  RR )
7675recnd 9145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  e.  CC )
7776, 57, 59divcan2d 9823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2  x.  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
78 2re 10100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
7975rehalfcld 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR )
80 rexmul 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR )  ->  ( 2 x e ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) ) )
8178, 79, 80sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 x e ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) ) )
82 rexadd 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( if ( 1  <_ 
( G `  s
) ,  1 ,  ( G `  s
) )  e.  RR  /\  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) )  e.  RR )  ->  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) + e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
8348, 50, 82syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) + e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) ) )
8477, 81, 833eqtr4d 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 x e ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) ) + e if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) ) )
85 x2times 10909 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s D t )  e.  RR*  ->  ( 2 x e ( s D t ) )  =  ( ( s D t ) + e ( s D t ) ) )
8671, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 x e ( s D t ) )  =  ( ( s D t ) + e ( s D t ) ) )
8774, 84, 863brtr4d 4267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( 2 x e ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  <_ 
( 2 x e ( s D t ) ) )
8879rexrd 9165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR* )
89 2rp 10648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR+
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
2  e.  RR+ )
91 xlemul2 10901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( s D t )  e.  RR*  /\  2  e.  RR+ )  ->  (
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  <_  (
s D t )  <-> 
( 2 x e ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 ) )  <_ 
( 2 x e ( s D t ) ) ) )
9288, 71, 90, 91syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 )  <_ 
( s D t )  <->  ( 2 x e ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) ) )  /  2 ) )  <_  ( 2 x e ( s D t ) ) ) )
9387, 92mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  +  if ( 1  <_ 
( F `  t
) ,  1 ,  ( F `  t
) ) )  / 
2 )  <_  (
s D t ) )
9461, 93eqbrtrd 4257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) + e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  <_ 
( s D t ) )
95 bldisj 18459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  s  e.  X  /\  t  e.  X
)  /\  ( ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 )  e.  RR*  /\  ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) + e
( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) )  <_ 
( s D t ) ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  (/) )
9624, 32, 37, 42, 47, 94, 95syl33anc 1200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  =  (/) )
97 eqimss 3386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) )  =  (/)  ->  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  t  e.  T ) )  -> 
( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
9998anassrs 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  S )  /\  t  e.  T )  ->  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) ) 
C_  (/) )
10099ralrimiva 2795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  A. t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
101 iunss 4156 . . . . . . . 8  |-  ( U_ t  e.  T  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  / 
2 ) ) ) 
C_  (/)  <->  A. t  e.  T  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
102100, 101sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  U_ t  e.  T  ( (
s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i  ( t ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( F `  t ) ,  1 ,  ( F `  t ) )  /  2 ) ) )  C_  (/) )
10323, 102syl5eqss 3378 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  S )  ->  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/) )
104103ralrimiva 2795 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
105 iunss 4156 . . . . 5  |-  ( U_ s  e.  S  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/)  <->  A. s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
106104, 105sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  C_  (/) )
107 ss0 3643 . . . 4  |-  ( U_ s  e.  S  (
( s ( ball `  D ) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  /  2 ) )  i^i  U ) 
C_  (/)  ->  U_ s  e.  S  ( ( s ( ball `  D
) ( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (/) )
108106, 107syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ s  e.  S  ( ( s (
ball `  D )
( if ( 1  <_  ( G `  s ) ,  1 ,  ( G `  s ) )  / 
2 ) )  i^i 
U )  =  (/) )
10920, 108syl5eq 2486 . 2  |-  ( ph  ->  ( V  i^i  U
)  =  (/) )
110 sseq2 3356 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  ( S  C_  z  <->  S  C_  V
) )
111 ineq1 3521 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
z  i^i  w )  =  ( V  i^i  w ) )
112111eqeq1d 2450 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  (
( z  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( V  i^i  w )  =  (/) ) )
113110, 1123anbi13d 1257 . . 3  |-  ( z  =  V  ->  (
( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( S  C_  V  /\  T  C_  w  /\  ( V  i^i  w )  =  (/) ) ) )
114 sseq2 3356 . . . 4  |-  ( w  =  U  ->  ( T  C_  w  <->  T  C_  U
) )
115 ineq2 3522 . . . . 5  |-  ( w  =  U  ->  ( V  i^i  w )  =  ( V  i^i  U
) )
116115eqeq1d 2450 . . . 4  |-  ( w  =  U  ->  (
( V  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( V  i^i  U )  =  (/) ) )
117114, 1163anbi23d 1258 . . 3  |-  ( w  =  U  ->  (
( S  C_  V  /\  T  C_  w  /\  ( V  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( S  C_  V  /\  T  C_  U  /\  ( V  i^i  U )  =  (/) ) ) )
118113, 117rspc2ev 3066 . 2  |-  ( ( V  e.  J  /\  U  e.  J  /\  ( S  C_  V  /\  T  C_  U  /\  ( V  i^i  U )  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
11911, 15, 16, 17, 109, 118syl113anc 1197 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  E. w  e.  J  ( S  C_  z  /\  T  C_  w  /\  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   A.wral 2711   E.wrex 2712    i^i cin 3305    C_ wss 3306   (/)c0 3613   ifcif 3763   U.cuni 4039   U_ciun 4117   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291   `'ccnv 4906   ran crn 4908   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   supcsup 7474   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    + caddc 9024    x. cmul 9026   RR*cxr 9150    < clt 9151    <_ cle 9152    / cdiv 9708   2c2 10080   RR+crp 10643   + ecxad 10739   x ecxmu 10740   * Metcxmt 16717   ballcbl 16719   MetOpencmopn 16722   Clsdccld 17111
This theorem is referenced by:  metnrm  18923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-ec 6936  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-icc 10954  df-topgen 13698  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116
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