MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metreg Structured version   Unicode version

Theorem metreg 18885
Description: A metric space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
metnrm.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metreg  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Reg )

Proof of Theorem metreg
StepHypRef Expression
1 metnrm.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21metnrm 18884 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Nrm )
31methaus 18542 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
4 haust1 17408 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Fre )
6 nrmreg 17848 . 2  |-  ( ( J  e.  Nrm  /\  J  e.  Fre )  ->  J  e.  Reg )
72, 5, 6syl2anc 643 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Reg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446   * Metcxmt 16678   MetOpencmopn 16683   Frect1 17363   Hauscha 17364   Regcreg 17365   Nrmcnrm 17366
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-topgen 13659  df-qtop 13725  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-cn 17283  df-t0 17369  df-t1 17370  df-haus 17371  df-reg 17372  df-nrm 17373  df-kq 17718  df-hmeo 17779  df-hmph 17780
  Copyright terms: Public domain W3C validator