MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metres Unicode version

Theorem metres 17929
Description: A restriction of a metric is a metric. (Contributed by NM, 26-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metres  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) )  e.  ( Met `  ( X  i^i  R ) ) )

Proof of Theorem metres
StepHypRef Expression
1 metf 17895 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
2 fdm 5393 . . 3  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  ->  dom 
D  =  ( X  X.  X ) )
3 metreslem 17926 . . 3  |-  ( dom 
D  =  ( X  X.  X )  -> 
( D  |`  ( R  X.  R ) )  =  ( D  |`  ( ( X  i^i  R )  X.  ( X  i^i  R ) ) ) )
41, 2, 33syl 18 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) )  =  ( D  |`  ( ( X  i^i  R )  X.  ( X  i^i  R
) ) ) )
5 inss1 3389 . . 3  |-  ( X  i^i  R )  C_  X
6 metres2 17927 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  i^i  R )  C_  X )  ->  ( D  |`  ( ( X  i^i  R )  X.  ( X  i^i  R
) ) )  e.  ( Met `  ( X  i^i  R ) ) )
75, 6mpan2 652 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( ( X  i^i  R )  X.  ( X  i^i  R ) ) )  e.  ( Met `  ( X  i^i  R
) ) )
84, 7eqeltrd 2357 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) )  e.  ( Met `  ( X  i^i  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255   RRcr 8736   Metcme 16370
This theorem is referenced by:  ressms  18072
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-mulcl 8799  ax-i2m1 8805
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-xadd 10453  df-xmet 16373  df-met 16374
  Copyright terms: Public domain W3C validator