MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metres2 Unicode version

Theorem metres2 18023
Description: Lemma for metres 18025. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metres2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( Met `  R
) )

Proof of Theorem metres2
StepHypRef Expression
1 metxmet 17995 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 xmetres2 18021 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  R  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) )  e.  ( * Met `  R
) )
31, 2sylan 457 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( * Met `  R
) )
4 metf 17991 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
54adantr 451 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
6 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  R  C_  X )
7 xpss12 4871 . . . 4  |-  ( ( R  C_  X  /\  R  C_  X )  -> 
( R  X.  R
)  C_  ( X  X.  X ) )
86, 6, 7syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( R  X.  R )  C_  ( X  X.  X
) )
9 fssres 5488 . . 3  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  ( R  X.  R )  C_  ( X  X.  X ) )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) ) : ( R  X.  R ) --> RR )
105, 8, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) ) : ( R  X.  R
) --> RR )
11 ismet2 17994 . 2  |-  ( ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( Met `  R
)  <->  ( ( D  |`  ( R  X.  R
) )  e.  ( * Met `  R
)  /\  ( D  |`  ( R  X.  R
) ) : ( R  X.  R ) --> RR ) )
123, 10, 11sylanbrc 645 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( Met `  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710    C_ wss 3228    X. cxp 4766    |` cres 4770   -->wf 5330   ` cfv 5334   RRcr 8823   * Metcxmt 16462   Metcme 16463
This theorem is referenced by:  metres  18025  xpsmet  18042  tmsms  18129  imasf1oms  18132  prdsms  18173  remet  18392  lebnumii  18562  cmetss  18838  sstotbnd2  25821  bndss  25833  equivbnd2  25839  rrnheibor  25884  iccbnd  25887
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-mulcl 8886  ax-i2m1 8892
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-xadd 10542  df-xmet 16469  df-met 16470
  Copyright terms: Public domain W3C validator