MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metres2 Unicode version

Theorem metres2 18350
Description: Lemma for metres 18352. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metres2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( Met `  R
) )

Proof of Theorem metres2
StepHypRef Expression
1 metxmet 18321 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 xmetres2 18348 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  R  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) )  e.  ( * Met `  R
) )
31, 2sylan 458 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( * Met `  R
) )
4 metf 18317 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
54adantr 452 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
6 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  R  C_  X )
7 xpss12 4944 . . . 4  |-  ( ( R  C_  X  /\  R  C_  X )  -> 
( R  X.  R
)  C_  ( X  X.  X ) )
86, 6, 7syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( R  X.  R )  C_  ( X  X.  X
) )
9 fssres 5573 . . 3  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  ( R  X.  R )  C_  ( X  X.  X ) )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) ) : ( R  X.  R ) --> RR )
105, 8, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) ) : ( R  X.  R
) --> RR )
11 ismet2 18320 . 2  |-  ( ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( Met `  R
)  <->  ( ( D  |`  ( R  X.  R
) )  e.  ( * Met `  R
)  /\  ( D  |`  ( R  X.  R
) ) : ( R  X.  R ) --> RR ) )
123, 10, 11sylanbrc 646 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( Met `  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    C_ wss 3284    X. cxp 4839    |` cres 4843   -->wf 5413   ` cfv 5417   RRcr 8949   * Metcxmt 16645   Metcme 16646
This theorem is referenced by:  metres  18352  xpsmet  18369  tmsms  18474  imasf1oms  18477  prdsms  18518  remet  18778  lebnumii  18948  cmetss  19224  sstotbnd2  26377  bndss  26389  equivbnd2  26395  rrnheibor  26440  iccbnd  26443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-mulcl 9012  ax-i2m1 9018
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-xadd 10671  df-xmet 16654  df-met 16655
  Copyright terms: Public domain W3C validator