MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metres2 Structured version   Unicode version

Theorem metres2 18393
Description: Lemma for metres 18395. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metres2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( Met `  R
) )

Proof of Theorem metres2
StepHypRef Expression
1 metxmet 18364 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 xmetres2 18391 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  R  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) )  e.  ( * Met `  R
) )
31, 2sylan 458 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( * Met `  R
) )
4 metf 18360 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
54adantr 452 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
6 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  R  C_  X )
7 xpss12 4981 . . . 4  |-  ( ( R  C_  X  /\  R  C_  X )  -> 
( R  X.  R
)  C_  ( X  X.  X ) )
86, 6, 7syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( R  X.  R )  C_  ( X  X.  X
) )
9 fssres 5610 . . 3  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  ( R  X.  R )  C_  ( X  X.  X ) )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) ) : ( R  X.  R ) --> RR )
105, 8, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) ) : ( R  X.  R
) --> RR )
11 ismet2 18363 . 2  |-  ( ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( Met `  R
)  <->  ( ( D  |`  ( R  X.  R
) )  e.  ( * Met `  R
)  /\  ( D  |`  ( R  X.  R
) ) : ( R  X.  R ) --> RR ) )
123, 10, 11sylanbrc 646 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  ( Met `  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3320    X. cxp 4876    |` cres 4880   -->wf 5450   ` cfv 5454   RRcr 8989   * Metcxmt 16686   Metcme 16687
This theorem is referenced by:  metres  18395  xpsmet  18412  tmsms  18517  imasf1oms  18520  prdsms  18561  remet  18821  lebnumii  18991  cmetss  19267  sstotbnd2  26483  bndss  26495  equivbnd2  26501  rrnheibor  26546  iccbnd  26549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-mulcl 9052  ax-i2m1 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-xadd 10711  df-xmet 16695  df-met 16696
  Copyright terms: Public domain W3C validator