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Theorem metrest 18086
Description: Two alternate formulations of a subspace topology of a metric space topology. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
metrest.1  |-  D  =  ( C  |`  ( Y  X.  Y ) )
metrest.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metrest.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metrest  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  K )

Proof of Theorem metrest
Dummy variables  u  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  i^i  Y )  C_  u
2 metrest.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
32elmopn2 18007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  (
u  e.  J  <->  ( u  C_  X  /\  A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u
) ) )
43simplbda 607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  J
)  ->  A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u
)
54adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u
)
6 ssralv 3250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  Y ) 
C_  u  ->  ( A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  C
) r )  C_  u  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  C ) r ) 
C_  u ) )
71, 5, 6mpsyl 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y
) E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  C ) r ) 
C_  u )
8 ssrin 3407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y ( ball `  C
) r )  C_  u  ->  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  (
u  i^i  Y )
)
98reximi 2663 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  C
) r )  C_  u  ->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) )
109ralimi 2631 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) )
117, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y
) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) )
12 inss2 3403 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  Y )  C_  Y
1311, 12jctil 523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  (
( u  i^i  Y
)  C_  Y  /\  A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  ( u  i^i  Y ) ) )
14 sseq1 3212 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
x  C_  Y  <->  ( u  i^i  Y )  C_  Y
) )
15 sseq2 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  <->  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  (
u  i^i  Y )
) )
1615rexbidv 2577 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) ) )
1716raleqbi1dv 2757 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x 
<-> 
A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) ) )
1814, 17anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x )  <->  ( (
u  i^i  Y )  C_  Y  /\  A. y  e.  ( u  i^i  Y
) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) ) ) )
1913, 18syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  (
x  =  ( u  i^i  Y )  -> 
( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x ) ) )
2019rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) ) )
212mopntop 18002 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
2221ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  J  e.  Top )
23 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  Y  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Y )
24 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
25 rpxr 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
262blopn 18062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  C ) r )  e.  J )
27 eleq1a 2365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y ( ball `  C
) r )  e.  J  ->  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
29283expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR* )  ->  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
3025, 29sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
3130rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  ->  z  e.  J
) )
3224, 31sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
3332anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
3423, 33sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  y  e.  x ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
3534anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
3635rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  ->  z  e.  J
) )
3736adantrd 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x )  ->  z  e.  J ) )
3837adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x )  ->  z  e.  J ) )
3938abssdv 3260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  C_  J )
40 uniopn 16659 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  C_  J
)  ->  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  e.  J )
4122, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  e.  J
)
42 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
y ( ball `  C
) r )  =  ( u ( ball `  C ) r ) )
4342ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  =  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
) )
4443sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  <->  ( (
u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
4544rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
4645rspccv 2894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  ( u  e.  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
4746ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( u ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x ) )
48 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  Y  ->  (
u  e.  x  ->  u  e.  Y )
)
49 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
u  e.  Y  ->  u  e.  X )
)
50 blcntr 17980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  u  e.  ( u ( ball `  C
) r ) )
5150a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  u  e.  ( u ( ball `  C
) r ) ) )
5251ancld 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
53523expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  u  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  ->  ( ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) )
5453reximdva 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  X
)  ->  ( E. r  e.  RR+  ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
5554ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  (
u  e.  X  -> 
( E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) ) )
5649, 55sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( u  e.  Y  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( u ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) ) )
5748, 56sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( u  e.  x  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( u ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) ) )
5857adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  -> 
( E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) ) )
5947, 58mpdd 36 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) )
6042eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
u  e.  ( y ( ball `  C
) r )  <->  u  e.  ( u ( ball `  C ) r ) ) )
6144, 60anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) )  <-> 
( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
6261rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  u  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  <->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
6362rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  x  /\  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) )  ->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) )
6463ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  x  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) )  ->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) ) )
6559, 64sylcom 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) ) )
66 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  x  C_  Y )
6766sseld 3192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  u  e.  Y )
)
6865, 67jcad 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  -> 
( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
) ) )
69 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  <->  ( u  e.  ( y ( ball `  C ) r )  /\  u  e.  Y
) )
70 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y ) )  ->  u  e.  x )
7169, 70sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  ( u  e.  (
y ( ball `  C
) r )  /\  u  e.  Y )
)  ->  u  e.  x )
7271expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  -> 
( u  e.  Y  ->  u  e.  x ) )
7372rexlimivw 2676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  -> 
( u  e.  Y  ->  u  e.  x ) )
7473rexlimivw 2676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  ->  ( u  e.  Y  ->  u  e.  x ) )
7574imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  /\  u  e.  Y )  ->  u  e.  x )
7668, 75impbid1 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
) ) )
77 elin 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  i^i  Y
)  <->  ( u  e. 
U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  /\  u  e.  Y
) )
78 eluniab 3855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) } 
<->  E. z ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) ) )
79 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) )  <->  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x )  /\  u  e.  z ) )
80 anass 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x )  /\  u  e.  z
)  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
81 r19.41v 2706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) ) )
8281rexbii 2581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
)  <->  E. y  e.  x  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y
( ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
) )
83 r19.41v 2706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  e.  x  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y
( ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
)  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
8482, 83bitr2i 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
)  <->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
8579, 80, 843bitri 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) )  <->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) ) )
8685exbii 1572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) )  <->  E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
87 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y ( ball `  C
) r )  e. 
_V
88 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
z  i^i  Y )  =  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y ) )
8988sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  <->  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
90 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
u  e.  z  <->  u  e.  ( y ( ball `  C ) r ) ) )
9189, 90anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
)  <->  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) ) ) )
9287, 91ceqsexv 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. z ( z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) )  <->  ( (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) ) )
9392rexbii 2581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. r  e.  RR+  E. z
( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) ) )
94 rexcom4 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. r  e.  RR+  E. z
( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. z E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
9593, 94bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  <->  E. z E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
9695rexbii 2581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  <->  E. y  e.  x  E. z E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
97 rexcom4 2820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  x  E. z E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
9896, 97bitr2i 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) ) )
9978, 86, 983bitri 262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) } 
<->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) )
10099anbi1i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  /\  u  e.  Y )  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
) )
10177, 100bitr2i 241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  /\  u  e.  Y )  <->  u  e.  ( U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  i^i  Y
) )
10276, 101syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  <->  u  e.  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  i^i  Y ) ) )
103102eqrdv 2294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  x  =  ( U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  i^i  Y
) )
104 ineq1 3376 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  ->  ( u  i^i 
Y )  =  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  i^i  Y ) )
105104eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  ->  ( x  =  ( u  i^i  Y
)  <->  x  =  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) }  i^i  Y ) ) )
106105rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  e.  J  /\  x  =  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) }  i^i  Y ) )  ->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) )
10741, 103, 106syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) )
108107ex 423 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( (
x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
)  ->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) ) )
10920, 108impbid 183 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
Y )  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) ) )
110 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
111 elin 3371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( y  e.  X  /\  y  e.  Y ) )
11224, 110, 111sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  ( X  i^i  Y ) )
113 metrest.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  ( C  |`  ( Y  X.  Y ) )
114113blres 17993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y (
ball `  D )
r )  =  ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y ) )
115114sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
1161153expa 1151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  r  e. 
RR* )  ->  (
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x  <->  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
11725, 116sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
118117rexbidva 2573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
119112, 118sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
120119anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
12123, 120sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  y  e.  x ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x  <->  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
122121anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
123122ralbidva 2572 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<-> 
A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x ) )
124123pm5.32da 622 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( (
x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D
) r )  C_  x )  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) ) )
125109, 124bitr4d 247 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
Y )  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) ) )
12621adantr 451 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  J  e.  Top )
127 id 19 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  X  ->  Y  C_  X )
1282mopnm 18006 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  J )
129 ssexg 4176 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  Y  e.  _V )
130127, 128, 129syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  Y  e.  _V )
131 elrest 13348 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) ) )
132126, 130, 131syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( x  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) ) )
133 xmetres2 17941 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( C  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
134113, 133syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  Y
) )
135 metrest.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
136135elmopn2 18007 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  (
x  e.  K  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) ) )
137134, 136syl 15 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( x  e.  K  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x ) ) )
138125, 132, 1373bitr4d 276 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( x  e.  ( Jt  Y )  <->  x  e.  K ) )
139138eqrdv 2294 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843    X. cxp 4703    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RR*cxr 8882   RR+crp 10370   ↾t crest 13341   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388   Topctop 16647
This theorem is referenced by:  ressxms  18087  nrginvrcn  18218  resubmet  18324  tgioo2  18325  metdscn2  18377  divcn  18388  dfii3  18403  cncfcn  18429  cmetss  18756  minveclem4a  18810  ftc1lem6  19404  ulmdvlem3  19795  abelth  19833  cxpcn3  20104  rlimcnp  20276  minvecolem4b  21473  minvecolem4  21475  hhsscms  21872  ftc1cnnc  25025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655
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