MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metrest Structured version   Unicode version

Theorem metrest 18554
Description: Two alternate formulations of a subspace topology of a metric space topology. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
metrest.1  |-  D  =  ( C  |`  ( Y  X.  Y ) )
metrest.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metrest.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metrest  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  K )

Proof of Theorem metrest
Dummy variables  u  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3561 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  i^i  Y )  C_  u
2 metrest.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
32elmopn2 18475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  (
u  e.  J  <->  ( u  C_  X  /\  A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u
) ) )
43simplbda 608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  J
)  ->  A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u
)
54adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u
)
6 ssralv 3407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  Y ) 
C_  u  ->  ( A. y  e.  u  E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  C
) r )  C_  u  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  C ) r ) 
C_  u ) )
71, 5, 6mpsyl 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y
) E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  C ) r ) 
C_  u )
8 ssrin 3566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y ( ball `  C
) r )  C_  u  ->  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  (
u  i^i  Y )
)
98reximi 2813 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  C
) r )  C_  u  ->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) )
109ralimi 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  C )
r )  C_  u  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) )
117, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  A. y  e.  ( u  i^i  Y
) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) )
12 inss2 3562 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  Y )  C_  Y
1311, 12jctil 524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  (
( u  i^i  Y
)  C_  Y  /\  A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  ( u  i^i  Y ) ) )
14 sseq1 3369 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
x  C_  Y  <->  ( u  i^i  Y )  C_  Y
) )
15 sseq2 3370 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  <->  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  (
u  i^i  Y )
) )
1615rexbidv 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) ) )
1716raleqbi1dv 2912 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x 
<-> 
A. y  e.  ( u  i^i  Y ) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) ) )
1814, 17anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x )  <->  ( (
u  i^i  Y )  C_  Y  /\  A. y  e.  ( u  i^i  Y
) E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  ( u  i^i  Y ) ) ) )
1913, 18syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  J )  ->  (
x  =  ( u  i^i  Y )  -> 
( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x ) ) )
2019rexlimdva 2830 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) ) )
212mopntop 18470 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  J  e.  Top )
23 ssel2 3343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  Y  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Y )
24 ssel2 3343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
25 rpxr 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
262blopn 18530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  C ) r )  e.  J )
27 eleq1a 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y ( ball `  C
) r )  e.  J  ->  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
29283expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR* )  ->  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
3025, 29sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
3130rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  ->  z  e.  J
) )
3224, 31sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
3332anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
3423, 33sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  y  e.  x ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  -> 
z  e.  J ) )
3534anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  z  e.  J ) )
3635rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  ->  z  e.  J
) )
3736adantrd 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x )  ->  z  e.  J ) )
3837adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x )  ->  z  e.  J ) )
3938abssdv 3417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  C_  J )
40 uniopn 16970 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  C_  J
)  ->  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  e.  J )
4122, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  e.  J
)
42 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
y ( ball `  C
) r )  =  ( u ( ball `  C ) r ) )
4342ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  =  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
) )
4443sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  <->  ( (
u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
4544rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
4645rspccv 3049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  ( u  e.  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
4746ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( u ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x ) )
48 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  Y  ->  (
u  e.  x  ->  u  e.  Y )
)
49 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
u  e.  Y  ->  u  e.  X )
)
50 blcntr 18443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  u  e.  ( u ( ball `  C
) r ) )
5150a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  u  e.  ( u ( ball `  C
) r ) ) )
5251ancld 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
53523expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  u  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  ->  ( ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) )
5453reximdva 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  X
)  ->  ( E. r  e.  RR+  ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
5554ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  (
u  e.  X  -> 
( E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) ) )
5649, 55sylan9r 640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( u  e.  Y  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( u ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) ) )
5748, 56sylan9r 640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( u  e.  x  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( u ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) ) )
5857adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  -> 
( E. r  e.  RR+  ( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) ) )
5947, 58mpdd 38 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) ) )
6042eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
u  e.  ( y ( ball `  C
) r )  <->  u  e.  ( u ( ball `  C ) r ) ) )
6144, 60anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) )  <-> 
( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
6261rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  u  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  <->  E. r  e.  RR+  ( ( ( u ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
u ( ball `  C
) r ) ) ) )
6362rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  x  /\  E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) ) )  ->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) )
6463ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  x  ->  ( E. r  e.  RR+  (
( ( u (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( u
( ball `  C )
r ) )  ->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) ) )
6559, 64sylcom 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) ) )
66 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  x  C_  Y )
6766sseld 3347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  ->  u  e.  Y )
)
6865, 67jcad 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  -> 
( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
) ) )
69 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  <->  ( u  e.  ( y ( ball `  C ) r )  /\  u  e.  Y
) )
70 ssel2 3343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y ) )  ->  u  e.  x )
7169, 70sylan2br 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  ( u  e.  (
y ( ball `  C
) r )  /\  u  e.  Y )
)  ->  u  e.  x )
7271expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  -> 
( u  e.  Y  ->  u  e.  x ) )
7372rexlimivw 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  -> 
( u  e.  Y  ->  u  e.  x ) )
7473rexlimivw 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  ->  ( u  e.  Y  ->  u  e.  x ) )
7574imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  /\  u  e.  Y )  ->  u  e.  x )
7668, 75impbid1 195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
) ) )
77 elin 3530 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  i^i  Y
)  <->  ( u  e. 
U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  /\  u  e.  Y
) )
78 eluniab 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) } 
<->  E. z ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) ) )
79 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) )  <->  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x )  /\  u  e.  z ) )
80 anass 631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x )  /\  u  e.  z
)  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
81 r19.41v 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) ) )
8281rexbii 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
)  <->  E. y  e.  x  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y
( ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
) )
83 r19.41v 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  e.  x  ( E. r  e.  RR+  z  =  ( y
( ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
)  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
8482, 83bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  z )
)  <->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
8579, 80, 843bitri 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) )  <->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) ) )
8685exbii 1592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z ( u  e.  z  /\  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) )  <->  E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
87 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y ( ball `  C
) r )  e. 
_V
88 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
z  i^i  Y )  =  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y ) )
8988sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
( z  i^i  Y
)  C_  x  <->  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
90 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
u  e.  z  <->  u  e.  ( y ( ball `  C ) r ) ) )
9189, 90anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y (
ball `  C )
r )  ->  (
( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
)  <->  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) ) ) )
9287, 91ceqsexv 2991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. z ( z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( ( z  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  z ) )  <->  ( (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) ) )
9392rexbii 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. r  e.  RR+  E. z
( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) ) )
94 rexcom4 2975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. r  e.  RR+  E. z
( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. z E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
9593, 94bitr3i 243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  <->  E. z E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
9695rexbii 2730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  <->  E. y  e.  x  E. z E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
97 rexcom4 2975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  x  E. z E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) ) )
9896, 97bitr2i 242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( ( z  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  z
) )  <->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x  /\  u  e.  (
y ( ball `  C
) r ) ) )
9978, 86, 983bitri 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) } 
<->  E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) ) )
10099anbi1i 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  /\  u  e.  Y )  <->  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x  /\  u  e.  ( y ( ball `  C
) r ) )  /\  u  e.  Y
) )
10177, 100bitr2i 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x  /\  u  e.  ( y
( ball `  C )
r ) )  /\  u  e.  Y )  <->  u  e.  ( U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  i^i  Y
) )
10276, 101syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  (
u  e.  x  <->  u  e.  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  i^i  Y ) ) )
103102eqrdv 2434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  x  =  ( U. {
z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C ) r )  /\  ( z  i^i 
Y )  C_  x
) }  i^i  Y
) )
104 ineq1 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  ->  ( u  i^i 
Y )  =  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  i^i  Y ) )
105104eqeq2d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  ->  ( x  =  ( u  i^i  Y
)  <->  x  =  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) }  i^i  Y ) ) )
106105rspcev 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  (
y ( ball `  C
) r )  /\  ( z  i^i  Y
)  C_  x ) }  e.  J  /\  x  =  ( U. { z  |  ( E. y  e.  x  E. r  e.  RR+  z  =  ( y (
ball `  C )
r )  /\  (
z  i^i  Y )  C_  x ) }  i^i  Y ) )  ->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) )
10741, 103, 106syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )  ->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) )
108107ex 424 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( (
x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
)  ->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) ) )
10920, 108impbid 184 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
Y )  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) ) )
110 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
111 elin 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( y  e.  X  /\  y  e.  Y ) )
11224, 110, 111sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  ( X  i^i  Y ) )
113 metrest.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  ( C  |`  ( Y  X.  Y ) )
114113blres 18461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y (
ball `  D )
r )  =  ( ( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y ) )
115114sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y )  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
1161153expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  r  e. 
RR* )  ->  (
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x  <->  ( (
y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
11725, 116sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  ( X  i^i  Y ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
118117rexbidva 2722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
119112, 118sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( Y  C_  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
120119anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
12123, 120sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( x  C_  Y  /\  y  e.  x ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x  <->  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) )
122121anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<->  E. r  e.  RR+  ( ( y (
ball `  C )
r )  i^i  Y
)  C_  x )
)
123122ralbidva 2721 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  x  C_  Y
)  ->  ( A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D
) r )  C_  x 
<-> 
A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
( y ( ball `  C ) r )  i^i  Y )  C_  x ) )
124123pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( (
x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D
) r )  C_  x )  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( ( y ( ball `  C
) r )  i^i 
Y )  C_  x
) ) )
125109, 124bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i 
Y )  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) ) )
12621adantr 452 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  J  e.  Top )
127 id 20 . . . . 5  |-  ( Y 
C_  X  ->  Y  C_  X )
1282mopnm 18474 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  J )
129 ssexg 4349 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  Y  e.  _V )
130127, 128, 129syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  Y  e.  _V )
131 elrest 13655 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) ) )
132126, 130, 131syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( x  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  x  =  ( u  i^i  Y ) ) )
133 xmetres2 18391 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( C  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( * Met `  Y
) )
134113, 133syl5eqel 2520 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  Y
) )
135 metrest.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
136135elmopn2 18475 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  (
x  e.  K  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) ) )
137134, 136syl 16 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( x  e.  K  <->  ( x  C_  Y  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x ) ) )
138125, 132, 1373bitr4d 277 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( x  e.  ( Jt  Y )  <->  x  e.  K ) )
139138eqrdv 2434 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   U.cuni 4015    X. cxp 4876    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RR*cxr 9119   RR+crp 10612   ↾t crest 13648   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688   MetOpencmopn 16691   Topctop 16958
This theorem is referenced by:  ressxms  18555  nrginvrcn  18727  resubmet  18833  tgioo2  18834  metdscn2  18887  divcn  18898  dfii3  18913  cncfcn  18939  cmetss  19267  minveclem4a  19331  ftc1lem6  19925  ulmdvlem3  20318  abelth  20357  cxpcn3  20632  rlimcnp  20804  minvecolem4b  22380  minvecolem4  22382  hhsscms  22779  ftc1cnnc  26279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966
  Copyright terms: Public domain W3C validator