MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metrtri Structured version   Unicode version

Theorem metrtri 18388
Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
metrtri  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( abs `  ( ( A D C )  -  ( B D C ) ) )  <_  ( A D B ) )

Proof of Theorem metrtri
StepHypRef Expression
1 metcl 18363 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A D C )  e.  RR )
213adant3r2 1164 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A D C )  e.  RR )
3 metcl 18363 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B D C )  e.  RR )
433adant3r1 1163 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( B D C )  e.  RR )
5 eqid 2437 . . . 4  |-  ( dist `  RR* s )  =  ( dist `  RR* s
)
65xrsdsreval 16744 . . 3  |-  ( ( ( A D C )  e.  RR  /\  ( B D C )  e.  RR )  -> 
( ( A D C ) ( dist `  RR* s ) ( B D C ) )  =  ( abs `  ( ( A D C )  -  ( B D C ) ) ) )
72, 4, 6syl2anc 644 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A D C ) (
dist `  RR* s ) ( B D C ) )  =  ( abs `  ( ( A D C )  -  ( B D C ) ) ) )
8 metxmet 18365 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
95xmetrtri2 18387 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( A D C ) ( dist `  RR* s ) ( B D C ) )  <_  ( A D B ) )
108, 9sylan 459 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( ( A D C ) (
dist `  RR* s ) ( B D C ) )  <_  ( A D B ) )
117, 10eqbrtrrd 4235 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( abs `  ( ( A D C )  -  ( B D C ) ) )  <_  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   RRcr 8990    <_ cle 9122    - cmin 9292   abscabs 12040   distcds 13539   RR* scxrs 13723   * Metcxmt 16687   Metcme 16688
This theorem is referenced by:  msrtri  18503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-fz 11045  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-xrs 13727  df-xmet 16696  df-met 16697
  Copyright terms: Public domain W3C validator