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Theorem metss 18530
Description: Two ways of saying that metric  D generates a finer topology than metric  C. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metequiv.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metss  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, C    J, r, s, x    K, r, s, x    D, r, s, x    X, r, s, x

Proof of Theorem metss
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metequiv.3 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopnval 18460 . . . 4  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  C )
) )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  C )
) )
4 metequiv.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
54mopnval 18460 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
65adantl 453 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
73, 6sseq12d 3369 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  ( topGen ` 
ran  ( ball `  C
) )  C_  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) ) ) )
8 blbas 18452 . . . 4  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  ran  ( ball `  C )  e. 
TopBases )
98adantr 452 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  ran  ( ball `  C )  e. 
TopBases )
10 unirnbl 18442 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  X )
1110adantr 452 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  X )
12 unirnbl 18442 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
1312adantl 453 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
1411, 13eqtr4d 2470 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  U. ran  ( ball `  C )  =  U. ran  ( ball `  D ) )
15 tgss2 17044 . . 3  |-  ( ( ran  ( ball `  C
)  e.  TopBases  /\  U. ran  ( ball `  C
)  =  U. ran  ( ball `  D )
)  ->  ( ( topGen `
 ran  ( ball `  C ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  <->  A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
169, 14, 15syl2anc 643 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  (
( topGen `  ran  ( ball `  C ) )  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  <->  A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1711raleqdv 2902 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
18 blssex 18449 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D ) ( x  e.  z  /\  z  C_  y )  <->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
1918adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
)  <->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) )
2019imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) ) )
2120ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) ) )
22 rpxr 10611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
23 blelrn 18439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  C ) r )  e.  ran  ( ball `  C ) )
2422, 23syl3an3 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  C ) r )  e.  ran  ( ball `  C ) )
25 blcntr 18435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  C
) r ) )
26 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
27 sseq2 3362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y  <->  ( x
( ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
2827rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y 
<->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
2926, 28imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x (
ball `  C )
r )  ->  (
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) ) )
3029rspcv 3040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  e. 
ran  ( ball `  C
)  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C ) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) ) )
3130com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  e. 
ran  ( ball `  C
)  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  C ) r )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) ) )
3224, 25, 31sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e. 
ran  ( ball `  C
) ( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
33323expa 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
3433adantllr 700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r ) ) )
3534ralrimdva 2788 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r ) ) )
36 blss 18447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
37363expb 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  ( y  e. 
ran  ( ball `  C
)  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )
3837adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  (
y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y )
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
3938adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y )
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)
40 r19.29 2838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y )  ->  E. r  e.  RR+  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
) )
41 sstr 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )  ->  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y )
4241expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  C_  y  ->  ( ( x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  ->  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
4342reximdv 2809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x ( ball `  C
) r )  C_  y  ->  ( E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) )
4443impcom 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  /\  (
x ( ball `  C
) r )  C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)
4544rexlimivw 2818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. r  e.  RR+  ( E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  ( x (
ball `  C )
r )  C_  y
)  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
)
4640, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  ( x ( ball `  C ) r )  /\  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y )
4746ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  C ) r ) 
C_  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) )
4839, 47syl5com 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  ran  ( ball `  C )  /\  x  e.  y )
)  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  E. s  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) s )  C_  y ) )
4948expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C
) )  ->  (
x  e.  y  -> 
( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r )  ->  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  y
) ) )
5049com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  ran  ( ball `  C
) )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  -> 
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) ) )
5150ralrimdva 2788 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
s )  C_  (
x ( ball `  C
) r )  ->  A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y ) ) )
5235, 51impbid 184 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  y )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5321, 52bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5453ralbidva 2713 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
5517, 54bitrd 245 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  ( A. x  e.  U. ran  ( ball `  C ) A. y  e.  ran  ( ball `  C )
( x  e.  y  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  y
) )  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
567, 16, 553bitrd 271 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  X
) )  ->  ( J  C_  K  <->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) s ) 
C_  ( x (
ball `  C )
r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   U.cuni 4007   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111   RR+crp 10604   topGenctg 13657   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680   MetOpencmopn 16683   TopBasesctb 16954
This theorem is referenced by:  metequiv  18531  metss2  18534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-bases 16957
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