MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mettri2 Structured version   Unicode version

Theorem mettri2 18363
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mettri2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A )  +  ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mettri2
StepHypRef Expression
1 metxmet 18356 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 xmettri2 18362 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) + e ( C D B ) ) )
31, 2sylan 458 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) + e ( C D B ) ) )
4 metcl 18354 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C D A )  e.  RR )
543adant3r3 1164 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( C D A )  e.  RR )
6 metcl 18354 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( C D B )  e.  RR )
763adant3r2 1163 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( C D B )  e.  RR )
8 rexadd 10810 . . 3  |-  ( ( ( C D A )  e.  RR  /\  ( C D B )  e.  RR )  -> 
( ( C D A ) + e
( C D B ) )  =  ( ( C D A )  +  ( C D B ) ) )
95, 7, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( C D A ) + e ( C D B ) )  =  ( ( C D A )  +  ( C D B ) ) )
103, 9breqtrd 4228 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A )  +  ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981    + caddc 8985    <_ cle 9113   + ecxad 10700   * Metcxmt 16678   Metcme 16679
This theorem is referenced by:  mettri  18374  mstri2  18489  metf1o  26452  isbnd3  26484  heibor1lem  26509  bfplem2  26523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-mulcl 9044  ax-i2m1 9050
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-xadd 10703  df-xmet 16687  df-met 16688
  Copyright terms: Public domain W3C validator