MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mettri2 Unicode version

Theorem mettri2 18281
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mettri2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A )  +  ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mettri2
StepHypRef Expression
1 metxmet 18274 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 xmettri2 18280 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) + e ( C D B ) ) )
31, 2sylan 458 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) + e ( C D B ) ) )
4 metcl 18272 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( C D A )  e.  RR )
543adant3r3 1164 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( C D A )  e.  RR )
6 metcl 18272 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( C D B )  e.  RR )
763adant3r2 1163 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( C D B )  e.  RR )
8 rexadd 10751 . . 3  |-  ( ( ( C D A )  e.  RR  /\  ( C D B )  e.  RR )  -> 
( ( C D A ) + e
( C D B ) )  =  ( ( C D A )  +  ( C D B ) ) )
95, 7, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( C D A ) + e ( C D B ) )  =  ( ( C D A )  +  ( C D B ) ) )
103, 9breqtrd 4178 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A )  +  ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   RRcr 8923    + caddc 8927    <_ cle 9055   + ecxad 10641   * Metcxmt 16613   Metcme 16614
This theorem is referenced by:  mettri  18291  mstri2  18388  metf1o  26153  isbnd3  26185  heibor1lem  26210  bfplem2  26224
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-mulcl 8986  ax-i2m1 8992
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-xadd 10644  df-xmet 16620  df-met 16621
  Copyright terms: Public domain W3C validator