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Theorem mettrifi 26473
Description: Generalized triangle inequality for arbitrary finite sums. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mettrifi.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
mettrifi.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
mettrifi.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
Assertion
Ref Expression
mettrifi  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  N ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, k    k, F    k, M    k, N    ph, k    k, X

Proof of Theorem mettrifi
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mettrifi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 10804 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
65oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 M ) D ( F `  M
) ) )
7 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
x  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
87oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... ( M  -  1 ) ) )
98sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
106, 9breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
114, 10imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  x
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
1211imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  M
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
13 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
14 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( F `  x )  =  ( F `  n ) )
1514oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) ) )
16 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
x  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
1716oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... (
n  -  1 ) ) )
1817sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
1915, 18breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
2013, 19imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  x
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
2120imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
22 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
23 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
2423oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
25 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
2625oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
2726sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
2824, 27breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
2922, 28imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  x
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3029imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
31 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
32 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( F `  x )  =  ( F `  N ) )
3332oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 M ) D ( F `  N
) ) )
34 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
x  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
3534oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
3635sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
3733, 36breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  M ) D ( F `  N ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
3831, 37imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  x
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <->  ( N  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  N ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3938imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  N
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
40 0le0 9827 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
4140a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  0 )
42 mettrifi.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43 eluzfz1 10803 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
441, 43syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
45 mettrifi.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
4645ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  X )
47 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
4847eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  M )  e.  X
) )
4948rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  X  ->  ( F `  M )  e.  X ) )
5044, 46, 49sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  X )
51 met0 17908 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  M )  e.  X )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 M ) )  =  0 )
5242, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  =  0 )
53 eluzel2 10235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
541, 53syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5554zred 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
5655ltm1d 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <  M )
57 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
5854, 57syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
59 fzn 10810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  1 )  < 
M  <->  ( M ... ( M  -  1
) )  =  (/) ) )
6054, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <  M  <->  ( M ... ( M  -  1 ) )  =  (/) ) )
6156, 60mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( M  -  1 ) )  =  (/) )
6261sumeq1d 12174 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  (/)  ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
63 sum0 12194 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  0
6462, 63syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 )
6541, 52, 643brtr4d 4053 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
6665a1d 22 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  M
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
6766a1i 10 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
68 peano2fzr 10808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
6968ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
7069adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
7170imim1d 69 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
72423ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
73503ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  M )  e.  X
)
74 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N ) )
75463ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  X )
76 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
7776eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X
) )
7877rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  X  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X ) )
7974, 75, 78sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  X
)
80 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
8180eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  n )  e.  X
) )
8281cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  X  <->  A. n  e.  ( M ... N ) ( F `  n
)  e.  X )
8375, 82sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  A. n  e.  ( M ... N ) ( F `  n
)  e.  X )
84703impia 1148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
85 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  ( M ... N ) ( F `
 n )  e.  X  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  n )  e.  X
) )
8683, 84, 85sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  n )  e.  X
)
87 mettri 17916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  M
)  e.  X  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  <_  ( (
( F `  M
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
8872, 73, 79, 86, 87syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  (
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
89 metcl 17897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  M )  e.  X  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9072, 73, 79, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
91 metcl 17897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  M )  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
9272, 73, 86, 91syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  e.  RR )
93 metcl 17897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  n )  e.  X  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9472, 86, 79, 93syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9592, 94readdcld 8862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
96 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... n )  e.  Fin )
9772adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
98 elfzuz3 10795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
9984, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  n ) )
100 fzss2 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
102101sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  k  e.  ( M ... N ) )
103453ad2antl1 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
104102, 103syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
105 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
106105adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
107 peano2uz 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108106, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
109 elfzuz3 10795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
11074, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )
111110adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
112 elfzuz3 10795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
113112adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
114 eluzp1p1 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
115113, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
116 uztrn 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
k  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
117111, 115, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
118 elfzuzb 10792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  <->  ( (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) ) )
119108, 117, 118sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
120 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
121120eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  X  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
) )
122121rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. n  e.  ( M ... N ) ( F `  n
)  e.  X  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
12383, 122sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
124119, 123syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
125 metcl 17897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
12697, 104, 124, 125syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
12796, 126fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
128 letr 8914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_ 
( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( ( F `  M
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
12990, 95, 127, 128syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( ( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  /\  (
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1
) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
13088, 129mpand 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( ( F `  M
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n
) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
131 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... ( n  -  1
) )  e.  Fin )
132 fzssp1 10834 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( ( n  -  1 )  +  1 ) )
133 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
1341333ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ZZ )
135134zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  CC )
136 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
137 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
138135, 136, 137sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
139138oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( M ... n ) )
140132, 139syl5sseq 3226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... ( n  -  1
) )  C_  ( M ... n ) )
141140sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... n ) )
142141, 126syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
143131, 142fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
14492, 143, 94leadd1d 9366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
145 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
146126recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
147 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
148147fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
14980, 148oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
150145, 146, 149fsumm1 12216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
151150breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( ( F `  M
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
152144, 151bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n
) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
153 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
154135, 136, 153sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
155154oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( M ... n ) )
156155sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n
) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
157156breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <-> 
( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n
) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
158130, 152, 1573imtr4d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
1591583expia 1153 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
160159a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
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( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
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( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
16171, 160syld 40 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
162161expcom 424 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
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)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
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 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
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 ( n  + 
1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
163162a2d 23 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
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) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
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1 ) ) ( ( F `  k
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16412, 21, 30, 39, 67, 163uzind4 10276 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
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 k ) D ( F `  (
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1651, 164mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
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) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
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1663, 165mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  N ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   sum_csu 12158   Metcme 16370
This theorem is referenced by:  geomcau  26475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374
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