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Theorem mettrifi 26465
Description: Generalized triangle inequality for arbitrary finite sums. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mettrifi.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
mettrifi.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
mettrifi.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
Assertion
Ref Expression
mettrifi  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  N ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, k    k, F    k, M    k, N    ph, k    k, X

Proof of Theorem mettrifi
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mettrifi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11067 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
65oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 M ) D ( F `  M
) ) )
7 oveq1 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
x  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
87oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... ( M  -  1 ) ) )
98sumeq1d 12497 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
106, 9breq12d 4227 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
114, 10imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  x
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
1211imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  M
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
13 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
14 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( F `  x )  =  ( F `  n ) )
1514oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) ) )
16 oveq1 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
x  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
1716oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... (
n  -  1 ) ) )
1817sumeq1d 12497 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
1915, 18breq12d 4227 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
2013, 19imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  x
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
2120imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
22 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
23 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
2423oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
25 oveq1 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
2625oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
2726sumeq1d 12497 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
2824, 27breq12d 4227 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
2922, 28imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  x
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3029imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
31 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
32 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( F `  x )  =  ( F `  N ) )
3332oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 M ) D ( F `  N
) ) )
34 oveq1 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
x  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
3534oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... ( x  - 
1 ) )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
3635sumeq1d 12497 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
3733, 36breq12d 4227 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  M ) D ( F `  N ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
3831, 37imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  x
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
x  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <->  ( N  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  N ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3938imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 x ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  N
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
40 0le0 10083 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
4140a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  0 )
42 mettrifi.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43 eluzfz1 11066 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
441, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
45 mettrifi.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
4645ralrimiva 2791 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  X )
47 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
4847eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  M )  e.  X
) )
4948rspcv 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  X  ->  ( F `  M )  e.  X ) )
5044, 46, 49sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  X )
51 met0 18375 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  M )  e.  X )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 M ) )  =  0 )
5242, 50, 51syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  =  0 )
53 eluzel2 10495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
541, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5554zred 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
5655ltm1d 9945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <  M )
57 peano2zm 10322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
5854, 57syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
59 fzn 11073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  1 )  < 
M  <->  ( M ... ( M  -  1
) )  =  (/) ) )
6054, 58, 59syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <  M  <->  ( M ... ( M  -  1 ) )  =  (/) ) )
6156, 60mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( M  -  1 ) )  =  (/) )
6261sumeq1d 12497 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  (/)  ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
63 sum0 12517 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  0
6462, 63syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 )
6541, 52, 643brtr4d 4244 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
6665a1d 24 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  M
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
6766a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  M ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( M  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
68 peano2fzr 11071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
6968ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
7069adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
7170imim1d 72 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
72423ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
73503ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  M )  e.  X
)
74 simp3 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N ) )
75463ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  X )
76 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
7776eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X
) )
7877rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  X  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X ) )
7974, 75, 78sylc 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  X
)
80 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
8180eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  n )  e.  X
) )
8281cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `
 k )  e.  X  <->  A. n  e.  ( M ... N ) ( F `  n
)  e.  X )
8375, 82sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  A. n  e.  ( M ... N ) ( F `  n
)  e.  X )
84703impia 1151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
85 rsp 2768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  ( M ... N ) ( F `
 n )  e.  X  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  n )  e.  X
) )
8683, 84, 85sylc 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  n )  e.  X
)
87 mettri 18384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  M
)  e.  X  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  <_  ( (
( F `  M
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
8872, 73, 79, 86, 87syl13anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  (
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
89 metcl 18364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  M )  e.  X  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9072, 73, 79, 89syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
91 metcl 18364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  M )  e.  X  /\  ( F `  n )  e.  X )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 n ) )  e.  RR )
9272, 73, 86, 91syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  e.  RR )
93 metcl 18364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  n )  e.  X  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9472, 86, 79, 93syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
9592, 94readdcld 9117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
96 fzfid 11314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... n )  e.  Fin )
9772adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
98 elfzuz3 11058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
9984, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  n ) )
100 fzss2 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
102101sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  k  e.  ( M ... N ) )
103453ad2antl1 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
104102, 103syldan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
105 elfzuz 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
106105adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
107 peano2uz 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
109 elfzuz3 11058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
11074, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )
111110adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
112 elfzuz3 11058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( M ... n )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
113112adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  k )
)
114 eluzp1p1 10513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
116 uztrn 10504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
k  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
117111, 115, 116syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
118 elfzuzb 11055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  <->  ( (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) ) )
119108, 117, 118sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
120 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
121120eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  X  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
) )
122121rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. n  e.  ( M ... N ) ( F `  n
)  e.  X  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
12383, 122sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
124119, 123syldan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
125 metcl 18364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
12697, 104, 124, 125syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
12796, 126fsumrecl 12530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
128 letr 9169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_ 
( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( ( F `  M
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
12990, 95, 127, 128syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( ( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  /\  (
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1
) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
13088, 129mpand 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( ( F `  M
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n
) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
131 fzfid 11314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... ( n  -  1
) )  e.  Fin )
132 fzssp1 11097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( ( n  -  1 )  +  1 ) )
133 eluzelz 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
1341333ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ZZ )
135134zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  CC )
136 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
137 npcan 9316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
138135, 136, 137sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
139138oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( M ... n ) )
140132, 139syl5sseq 3398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... ( n  -  1
) )  C_  ( M ... n ) )
141140sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... n ) )
142141, 126syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
143131, 142fsumrecl 12530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
14492, 143, 94leadd1d 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
145 simp2 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
146126recnd 9116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  /\  k  e.  ( M ... n ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
147 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
148147fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
14980, 148oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
150145, 146, 149fsumm1 12539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
151150breq2d 4226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( ( F `  M
) D ( F `
 n ) )  +  ( ( F `
 n ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( M ... ( n  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  +  ( ( F `  n ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
152144, 151bitr4d 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <-> 
( ( ( F `
 M ) D ( F `  n
) )  +  ( ( F `  n
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n
) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
153 pncan 9313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
154135, 136, 153sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
155154oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M ... ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( M ... n ) )
156155sumeq1d 12497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( M ... n
) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
157156breq2d 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1
) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <-> 
( ( F `  M ) D ( F `  ( n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... n
) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
158130, 152, 1573imtr4d 261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
) D ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
1591583expia 1156 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( F `  M
) D ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
160159a2d 25 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
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( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
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( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
16171, 160syld 43 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
n  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
 M ) D ( F `  (
n  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
162161expcom 426 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  n ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( n  - 
1 ) ) ( ( F `  k
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 ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
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 ( n  + 
1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( ( F `  k ) D ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
163162a2d 25 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
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 ( k  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
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1 ) ) ( ( F `  k
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16412, 21, 30, 39, 67, 163uzind4 10536 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
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 k ) D ( F `  (
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1651, 164mpcom 35 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ( F `
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) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
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1663, 165mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) D ( F `  N ) )  <_  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( ( F `
 k ) D ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045   sum_csu 12481   Metcme 16689
This theorem is referenced by:  geomcau  26467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-xmet 16697  df-met 16698
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