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Theorem metust 18590
Description: The uniform structure generated by a metric  D (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
Assertion
Ref Expression
metust  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X ) )
Distinct variable groups:    D, a    X, a    F, a

Proof of Theorem metust
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4  |-  F  =  ran  ( a  e.  RR+  |->  ( `' D " ( 0 [,) a
) ) )
21metustfbas 18588 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
3 fgcl 17902 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
4 filsspw 17875 . . 3  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X ) )
52, 3, 43syl 19 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X ) )
6 filtop 17879 . . 3  |-  ( ( ( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  ->  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
72, 3, 63syl 19 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
82, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
98ad3antrrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) ) )
10 simpllr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) )
11 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )
1211elpwid 3800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  C_  ( X  X.  X ) )
13 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  -> 
v  C_  w )
14 filss 17877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  w  C_  ( X  X.  X )  /\  v  C_  w ) )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
159, 10, 12, 13, 14syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e. 
~P ( X  X.  X ) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
1615ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ~P ( X  X.  X ) )  -> 
( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) ) )
1716ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ) )
188ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X
) ) )
19 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
20 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
21 filin 17878 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  (
v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X ) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F ) )
2322ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) )
24 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
2524ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
26 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  e.  F )
271metustid 18582 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  u  e.  F )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u )
2825, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u )
29 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  C_  v )
3028, 29sstrd 3350 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (  _I  |`  X )  C_  v )
31 elfg 17895 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  ( v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  <-> 
( v  C_  ( X  X.  X )  /\  E. u  e.  F  u 
C_  v ) ) )
3231biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( v  C_  ( X  X.  X
)  /\  E. u  e.  F  u  C_  v
) )
3332simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. u  e.  F  u  C_  v
)
342, 33sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. u  e.  F  u  C_  v
)
3530, 34r19.29a 2842 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  (  _I  |`  X )  C_  v
)
368ad3antrrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) ) )
372adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) ) )
38 ssfg 17896 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X ) )  ->  F  C_  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  F  C_  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
4039ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  F  C_  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
4140, 26sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
4232simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  X.  X
) )  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
432, 42sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
4443ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  v  C_  ( X  X.  X
) )
45 cnvss 5037 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  ( X  X.  X )  ->  `' v  C_  `' ( X  X.  X ) )
46 cnvxp 5282 . . . . . . . . 9  |-  `' ( X  X.  X )  =  ( X  X.  X )
4745, 46syl6sseq 3386 . . . . . . . 8  |-  ( v 
C_  ( X  X.  X )  ->  `' v  C_  ( X  X.  X ) )
4844, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' v  C_  ( X  X.  X ) )
491metustsym 18584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  u  e.  F )  ->  `' u  =  u )
5025, 26, 49syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' u  =  u )
51 cnvss 5037 . . . . . . . . 9  |-  ( u 
C_  v  ->  `' u  C_  `' v )
5251adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' u  C_  `' v )
5350, 52eqsstr3d 3375 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  u  C_  `' v )
54 filss 17877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  ( Fil `  ( X  X.  X ) )  /\  ( u  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  `' v  C_  ( X  X.  X
)  /\  u  C_  `' v ) )  ->  `' v  e.  (
( X  X.  X
) filGen F ) )
5536, 41, 48, 53, 54syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
5655, 34r19.29a 2842 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )
57 simp-4l 743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  X  =/=  (/) )
581metustexhalf 18586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  u  e.  F )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  u
)
5957, 25, 26, 58syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  u
)
60 r19.41v 2853 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  F  ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  <->  ( E. w  e.  F  (
w  o.  w ) 
C_  u  /\  u  C_  v ) )
61 sstr 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  -> 
( w  o.  w
)  C_  v )
6261reximi 2805 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  F  ( ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  v )
6360, 62sylbir 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  u  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w
)  C_  v )
6459, 29, 63syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  u  e.  F )  /\  u  C_  v )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  v
)
6564, 34r19.29a 2842 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  F  ( w  o.  w )  C_  v
)
66 ssrexv 3400 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( ( X  X.  X ) filGen F )  ->  ( E. w  e.  F  (
w  o.  w ) 
C_  v  ->  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
6739, 65, 66sylc 58 . . . . 5  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
6835, 56, 673jca 1134 . . . 4  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( (  _I  |`  X )  C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
6917, 23, 683jca 1134 . . 3  |-  ( ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  /\  v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  ->  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
7069ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F )  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
71 elfvex 5750 . . . 4  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  X  e.  _V )
7271adantl 453 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  X  e.  _V )
73 isust 18225 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X
)  <->  ( ( ( X  X.  X )
filGen F )  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F ) ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w )  e.  ( ( X  X.  X
) filGen F )  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
7472, 73syl 16 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( (
( X  X.  X
) filGen F )  e.  (UnifOn `  X )  <->  ( ( ( X  X.  X ) filGen F ) 
C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  A. v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( A. w  e. 
~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) )  /\  A. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( v  i^i  w
)  e.  ( ( X  X.  X )
filGen F )  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F )  /\  E. w  e.  ( ( X  X.  X ) filGen F ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
755, 7, 70, 74mpbir3and 1137 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  ( ( X  X.  X ) filGen F )  e.  (UnifOn `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791    e. cmpt 4258    _I cid 4485    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873    o. ccom 4874   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982   RR+crp 10604   [,)cico 10910  PsMetcpsmet 16677   fBascfbas 16681   filGencfg 16682   Filcfil 17869  UnifOncust 18221
This theorem is referenced by:  cfilucfil  18592  metuust  18594  metucn  18611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-psmet 16686  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-fil 17870  df-ust 18222
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