MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metxmet Structured version   Unicode version

Theorem metxmet 18364
Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metxmet  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )

Proof of Theorem metxmet
StepHypRef Expression
1 ismet2 18363 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) )
21simplbi 447 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    X. cxp 4876   -->wf 5450   ` cfv 5454   RRcr 8989   * Metcxmt 16686   Metcme 16687
This theorem is referenced by:  metdmdm  18366  meteq0  18369  mettri2  18371  met0  18373  metge0  18375  metsym  18380  metrtri  18387  metgt0  18389  metres2  18393  prdsmet  18400  imasf1omet  18406  blpnf  18427  bl2in  18430  isms2  18480  setsms  18510  tmsms  18517  metss2lem  18541  metss2  18542  methaus  18550  dscopn  18621  cnxmet  18807  rexmet  18822  metdcn2  18870  metdsre  18883  metdscn2  18887  lebnumlem1  18986  lebnumlem2  18987  lebnumlem3  18988  lebnum  18989  xlebnum  18990  cmetcaulem  19241  cmetcau  19242  iscmet3lem1  19244  iscmet3lem2  19245  iscmet3  19246  equivcfil  19252  equivcau  19253  cmetss  19267  relcmpcmet  19269  cmpcmet  19270  cncmet  19275  bcthlem2  19278  bcthlem3  19279  bcthlem4  19280  bcthlem5  19281  bcth2  19283  bcth3  19284  cmetcusp1OLD  19305  cmetcusp1  19306  cmetcuspOLD  19307  cmetcusp  19308  minveclem3  19330  imsxmet  22184  blocni  22306  ubthlem1  22372  ubthlem2  22373  minvecolem4a  22379  hhxmet  22677  hilxmet  22697  fmcncfil  24317  blssp  26462  lmclim2  26464  geomcau  26465  caures  26466  caushft  26467  sstotbnd2  26483  equivtotbnd  26487  isbndx  26491  isbnd3  26493  ssbnd  26497  totbndbnd  26498  prdstotbnd  26503  prdsbnd2  26504  heibor1lem  26518  heibor1  26519  heiborlem3  26522  heiborlem6  26525  heiborlem8  26527  heiborlem9  26528  heiborlem10  26529  heibor  26530  bfplem1  26531  bfplem2  26532  rrncmslem  26541  ismrer1  26547  reheibor  26548
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-mulcl 9052  ax-i2m1 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-xadd 10711  df-xmet 16695  df-met 16696
  Copyright terms: Public domain W3C validator