Theorem metxplem3 7828

Description: Lemma for metxp 7834.

Hypotheses

Ref	Expression
metxplem1.1	|- D e. Met
metxplem1.2	|- X = dom dom D
metxplem3.4	|- (ph -> F e. RR)
metxplem3.5	|- (ph -> G e. RR)
metxplem3.6	|- (ph -> (C e. X /\ A e. X /\ B e. X))

Assertion

Ref	Expression
metxplem3	|- (ph -> ((CDA) <_ F -> ((CDB) <_ G -> (ADB) <_ (F + G))))

Proof of Theorem metxplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxplem3.6	. . . . 5 |- (ph -> (C e. X /\ A e. X /\ B e. X))
2		metxplem1.1	. . . . . . 7 |- D e. Met
3		metxplem1.2	. . . . . . . 8 |- X = dom dom D
4	3	metcl 7811	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. RR)
5	2, 4	mp3an1 903	. . . . . 6 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. RR)
6	5	3adant1 797	. . . . 5 |- ((C e. X /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. RR)
7	1, 6	syl 10	. . . 4 |- (ph -> (ADB) e. RR)
8	7	adantr 389	. . 3 |- ((ph /\ ((CDA) <_ F /\ (CDB) <_ G)) -> (ADB) e. RR)
9		axaddrcl 5272	. . . . 5 |- (((CDA) e. RR /\ (CDB) e. RR) -> ((CDA) + (CDB)) e. RR)
10	3	metcl 7811	. . . . . . . 8 |- ((D e. Met /\ C e. X /\ A e. X) -> (CDA) e. RR)
11	2, 10	mp3an1 903	. . . . . . 7 |- ((C e. X /\ A e. X) -> (CDA) e. RR)
12	11	3adant3 799	. . . . . 6 |- ((C e. X /\ A e. X /\ B e. X) -> (CDA) e. RR)
13	1, 12	syl 10	. . . . 5 |- (ph -> (CDA) e. RR)
14	3	metcl 7811	. . . . . . . 8 |- ((D e. Met /\ C e. X /\ B e. X) -> (CDB) e. RR)
15	2, 14	mp3an1 903	. . . . . . 7 |- ((C e. X /\ B e. X) -> (CDB) e. RR)
16	15	3adant2 798	. . . . . 6 |- ((C e. X /\ A e. X /\ B e. X) -> (CDB) e. RR)
17	1, 16	syl 10	. . . . 5 |- (ph -> (CDB) e. RR)
18	9, 13, 17	sylanc 471	. . . 4 |- (ph -> ((CDA) + (CDB)) e. RR)
19	18	adantr 389	. . 3 |- ((ph /\ ((CDA) <_ F /\ (CDB) <_ G)) -> ((CDA) + (CDB)) e. RR)
20		axaddrcl 5272	. . . . 5 |- ((F e. RR /\ G e. RR) -> (F + G) e. RR)
21		metxplem3.4	. . . . 5 |- (ph -> F e. RR)
22		metxplem3.5	. . . . 5 |- (ph -> G e. RR)
23	20, 21, 22	sylanc 471	. . . 4 |- (ph -> (F + G) e. RR)
24	23	adantr 389	. . 3 |- ((ph /\ ((CDA) <_ F /\ (CDB) <_ G)) -> (F + G) e. RR)
25	3	mettri2 7813	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ (C e. X /\ A e. X /\ B e. X)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))
26	2, 25	mpan 695	. . . . 5 |- ((C e. X /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))
27	1, 26	syl 10	. . . 4 |- (ph -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))
28	27	adantr 389	. . 3 |- ((ph /\ ((CDA) <_ F /\ (CDB) <_ G)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))
29		le2addt 5644	. . . . 5 |- ((((CDA) e. RR /\ (CDB) e. RR) /\ (F e. RR /\ G e. RR)) -> (((CDA) <_ F /\ (CDB) <_ G) -> ((CDA) + (CDB)) <_ (F + G)))
30	29, 13, 17, 21, 22	syl2anc 472	. . . 4 |- (ph -> (((CDA) <_ F /\ (CDB) <_ G) -> ((CDA) + (CDB)) <_ (F + G)))
31	30	imp 350	. . 3 |- ((ph /\ ((CDA) <_ F /\ (CDB) <_ G)) -> ((CDA) + (CDB)) <_ (F + G))
32	8, 19, 24, 28, 31	letrd 5526	. 2 |- ((ph /\ ((CDA) <_ F /\ (CDB) <_ G)) -> (ADB) <_ (F + G))
33	32	exp32 377	1 |- (ph -> ((CDA) <_ F -> ((CDB) <_ G -> (ADB) <_ (F + G))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  (class class class)co 3963  RRcr 5233   + caddc 5237   <_ cle 5295  Metcme 7789

This theorem is referenced by:  metxplem4 7833

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-met 7793

Copyright terms: Public domain