MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpbas Unicode version

Theorem mgpbas 15331
Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpbas.2  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
mgpbas  |-  B  =  ( Base `  M
)

Proof of Theorem mgpbas
StepHypRef Expression
1 mgpbas.2 . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mgpbas.1 . . 3  |-  M  =  (mulGrp `  R )
3 df-base 13153 . . 3  |-  Base  = Slot  1
4 1nn 9757 . . 3  |-  1  e.  NN
5 1ne2 9931 . . 3  |-  1  =/=  2
62, 3, 4, 5mgplem 15330 . 2  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
71, 6eqtri 2303 1  |-  B  =  ( Base `  M
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623   ` cfv 5255   1c1 8738   Basecbs 13148  mulGrpcmgp 15325
This theorem is referenced by:  mgptopn  15334  mgpress  15336  dfur2  15344  rngcl  15354  crngcom  15355  iscrng2  15356  rngass  15357  rngideu  15358  rngidcl  15361  rngidmlem  15363  isrngid  15366  rngidss  15367  rngpropd  15372  crngpropd  15373  isrngd  15375  iscrngd  15376  prdsmgp  15393  oppr1  15416  unitgrpbas  15448  unitsubm  15452  rngidpropd  15477  dfrhm2  15498  rhmmul  15505  isrhm2d  15506  pwsco1rhm  15510  pwsco2rhm  15511  isdrng2  15522  drngmcl  15525  drngid2  15528  isdrngd  15537  subrgsubm  15558  issubrg3  15573  cntzsubr  15577  pwsdiagrhm  15578  rhmpropd  15580  rlmscaf  15960  sraassa  16065  psrcrng  16157  mplcoe3  16210  mplcoe2  16211  mplbas2  16212  ply1tmcl  16348  coe1tm  16349  coe1pwmul  16355  ply1scltm  16357  ply1coe  16368  xrsmcmn  16397  cnfldexp  16407  cnmsubglem  16434  expmhm  16449  expghm  16450  nrgtrg  18200  evlslem6  19397  evlslem3  19398  evlslem1  19399  evl1expd  19421  mpfind  19428  deg1pwle  19505  deg1pw  19506  ply1remlem  19548  fta1blem  19554  plypf1  19594  amgm  20285  wilthlem2  20307  wilthlem3  20308  dchrelbas2  20476  dchrelbas3  20477  dchrzrhmul  20485  dchrmulcl  20488  dchrn0  20489  dchrinvcl  20492  dchrfi  20494  dchrsum2  20507  sum2dchr  20513  lgsqrlem1  20580  lgsqrlem2  20581  lgsqrlem3  20582  lgsqrlem4  20583  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  dchrisum0flblem1  20657  iistmd  23286  xrge0iifmhm  23321  xrge0pluscn  23322  hbtlem4  27330  cnmsgnbas  27435  rngvcl  27453  mamuvs2  27464  subrgacs  27508  cntzsdrg  27510  idomrootle  27511  isdomn3  27523  mon1psubm  27525  deg1mhm  27526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mgp 15326
  Copyright terms: Public domain W3C validator