MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpbas Unicode version

Theorem mgpbas 15347
Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpbas.2  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
mgpbas  |-  B  =  ( Base `  M
)

Proof of Theorem mgpbas
StepHypRef Expression
1 mgpbas.2 . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mgpbas.1 . . 3  |-  M  =  (mulGrp `  R )
3 df-base 13169 . . 3  |-  Base  = Slot  1
4 1nn 9773 . . 3  |-  1  e.  NN
5 1ne2 9947 . . 3  |-  1  =/=  2
62, 3, 4, 5mgplem 15346 . 2  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
71, 6eqtri 2316 1  |-  B  =  ( Base `  M
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632   ` cfv 5271   1c1 8754   Basecbs 13164  mulGrpcmgp 15341
This theorem is referenced by:  mgptopn  15350  mgpress  15352  dfur2  15360  rngcl  15370  crngcom  15371  iscrng2  15372  rngass  15373  rngideu  15374  rngidcl  15377  rngidmlem  15379  isrngid  15382  rngidss  15383  rngpropd  15388  crngpropd  15389  isrngd  15391  iscrngd  15392  prdsmgp  15409  oppr1  15432  unitgrpbas  15464  unitsubm  15468  rngidpropd  15493  dfrhm2  15514  rhmmul  15521  isrhm2d  15522  pwsco1rhm  15526  pwsco2rhm  15527  isdrng2  15538  drngmcl  15541  drngid2  15544  isdrngd  15553  subrgsubm  15574  issubrg3  15589  cntzsubr  15593  pwsdiagrhm  15594  rhmpropd  15596  rlmscaf  15976  sraassa  16081  psrcrng  16173  mplcoe3  16226  mplcoe2  16227  mplbas2  16228  ply1tmcl  16364  coe1tm  16365  coe1pwmul  16371  ply1scltm  16373  ply1coe  16384  xrsmcmn  16413  cnfldexp  16423  cnmsubglem  16450  expmhm  16465  expghm  16466  nrgtrg  18216  evlslem6  19413  evlslem3  19414  evlslem1  19415  evl1expd  19437  mpfind  19444  deg1pwle  19521  deg1pw  19522  ply1remlem  19564  fta1blem  19570  plypf1  19610  amgm  20301  wilthlem2  20323  wilthlem3  20324  dchrelbas2  20492  dchrelbas3  20493  dchrzrhmul  20501  dchrmulcl  20504  dchrn0  20505  dchrinvcl  20508  dchrfi  20510  dchrsum2  20523  sum2dchr  20529  lgsqrlem1  20596  lgsqrlem2  20597  lgsqrlem3  20598  lgsqrlem4  20599  lgseisenlem3  20606  lgseisenlem4  20607  dchrisum0flblem1  20673  iistmd  23301  xrge0iifmhm  23336  xrge0pluscn  23337  hbtlem4  27433  cnmsgnbas  27538  rngvcl  27556  mamuvs2  27567  subrgacs  27611  cntzsdrg  27613  idomrootle  27614  isdomn3  27626  mon1psubm  27628  deg1mhm  27629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mgp 15342
  Copyright terms: Public domain W3C validator