MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpbas Structured version   Unicode version

Theorem mgpbas 15656
Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpbas.2  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
mgpbas  |-  B  =  ( Base `  M
)

Proof of Theorem mgpbas
StepHypRef Expression
1 mgpbas.2 . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mgpbas.1 . . 3  |-  M  =  (mulGrp `  R )
3 df-base 13476 . . 3  |-  Base  = Slot  1
4 1nn 10013 . . 3  |-  1  e.  NN
5 1ne2 10189 . . 3  |-  1  =/=  2
62, 3, 4, 5mgplem 15655 . 2  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  M )
71, 6eqtri 2458 1  |-  B  =  ( Base `  M
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653   ` cfv 5456   1c1 8993   Basecbs 13471  mulGrpcmgp 15650
This theorem is referenced by:  mgptopn  15659  mgpress  15661  dfur2  15669  rngcl  15679  crngcom  15680  iscrng2  15681  rngass  15682  rngideu  15683  rngidcl  15686  rngidmlem  15688  isrngid  15691  rngidss  15692  rngpropd  15697  crngpropd  15698  isrngd  15700  iscrngd  15701  prdsmgp  15718  oppr1  15741  unitgrpbas  15773  unitsubm  15777  rngidpropd  15802  dfrhm2  15823  rhmmul  15830  isrhm2d  15831  pwsco1rhm  15835  pwsco2rhm  15836  isdrng2  15847  drngmcl  15850  drngid2  15853  isdrngd  15862  subrgsubm  15883  issubrg3  15898  cntzsubr  15902  pwsdiagrhm  15903  rhmpropd  15905  rlmscaf  16281  sraassa  16386  psrcrng  16478  mplcoe3  16531  mplcoe2  16532  mplbas2  16533  ply1tmcl  16666  coe1tm  16667  coe1pwmul  16673  ply1scltm  16675  ply1coe  16686  xrsmcmn  16726  cnfldexp  16736  cnmsubglem  16763  expmhm  16778  expghm  16779  nrgtrg  18727  evlslem6  19936  evlslem3  19937  evlslem1  19938  evl1expd  19960  mpfind  19967  deg1pwle  20044  deg1pw  20045  ply1remlem  20087  fta1blem  20093  plypf1  20133  amgm  20831  wilthlem2  20854  wilthlem3  20855  dchrelbas2  21023  dchrelbas3  21024  dchrzrhmul  21032  dchrmulcl  21035  dchrn0  21036  dchrinvcl  21039  dchrfi  21041  dchrsum2  21054  sum2dchr  21060  lgsqrlem1  21127  lgsqrlem2  21128  lgsqrlem3  21129  lgsqrlem4  21130  lgseisenlem3  21137  lgseisenlem4  21138  dchrisum0flblem1  21204  iistmd  24302  xrge0iifmhm  24327  xrge0pluscn  24328  hbtlem4  27309  cnmsgnbas  27414  rngvcl  27432  mamuvs2  27443  subrgacs  27487  cntzsdrg  27489  idomrootle  27490  isdomn3  27502  mon1psubm  27504  deg1mhm  27505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-mgp 15651
  Copyright terms: Public domain W3C validator