MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgplem Structured version   Unicode version

Theorem mgplem 15653
Description: Lemma for mgpbas 15654. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgplem.2  |-  E  = Slot 
N
mgplem.3  |-  N  e.  NN
mgplem.4  |-  N  =/=  2
Assertion
Ref Expression
mgplem  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  M
)

Proof of Theorem mgplem
StepHypRef Expression
1 mgplem.2 . . . 4  |-  E  = Slot 
N
2 mgplem.3 . . . 4  |-  N  e.  NN
31, 2ndxid 13490 . . 3  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
4 mgplem.4 . . . 4  |-  N  =/=  2
51, 2ndxarg 13489 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =  N
6 plusgndx 13563 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
75, 6neeq12i 2613 . . . 4  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( +g  `  ndx ) 
<->  N  =/=  2 )
84, 7mpbir 201 . . 3  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( +g  `  ndx )
93, 8setsnid 13509 . 2  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
)
10 mgpbas.1 . . . 4  |-  M  =  (mulGrp `  R )
11 eqid 2436 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
1210, 11mgpval 15651 . . 3  |-  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R
) >. )
1312fveq2i 5731 . 2  |-  ( E `
 M )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
)
149, 13eqtr4i 2459 1  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  M
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   <.cop 3817   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   NNcn 10000   2c2 10049   ndxcnx 13466   sSet csts 13467  Slot cslot 13468   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530  mulGrpcmgp 15648
This theorem is referenced by:  mgpbas  15654  mgpsca  15655  mgptset  15656  mgpds  15658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mgp 15649
  Copyright terms: Public domain W3C validator