MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgplem Unicode version

Theorem mgplem 15608
Description: Lemma for mgpbas 15609. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgplem.2  |-  E  = Slot 
N
mgplem.3  |-  N  e.  NN
mgplem.4  |-  N  =/=  2
Assertion
Ref Expression
mgplem  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  M
)

Proof of Theorem mgplem
StepHypRef Expression
1 mgplem.2 . . . 4  |-  E  = Slot 
N
2 mgplem.3 . . . 4  |-  N  e.  NN
31, 2ndxid 13445 . . 3  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
4 mgplem.4 . . . 4  |-  N  =/=  2
51, 2ndxarg 13444 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =  N
6 plusgndx 13518 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
75, 6neeq12i 2579 . . . 4  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( +g  `  ndx ) 
<->  N  =/=  2 )
84, 7mpbir 201 . . 3  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( +g  `  ndx )
93, 8setsnid 13464 . 2  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
)
10 mgpbas.1 . . . 4  |-  M  =  (mulGrp `  R )
11 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
1210, 11mgpval 15606 . . 3  |-  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R
) >. )
1312fveq2i 5690 . 2  |-  ( E `
 M )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
)
149, 13eqtr4i 2427 1  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  M
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   <.cop 3777   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   NNcn 9956   2c2 10005   ndxcnx 13421   sSet csts 13422  Slot cslot 13423   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  mulGrpcmgp 15603
This theorem is referenced by:  mgpbas  15609  mgpsca  15610  mgptset  15611  mgpds  15613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mgp 15604
  Copyright terms: Public domain W3C validator