MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgplem Unicode version

Theorem mgplem 15429
Description: Lemma for mgpbas 15430. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgplem.2  |-  E  = Slot 
N
mgplem.3  |-  N  e.  NN
mgplem.4  |-  N  =/=  2
Assertion
Ref Expression
mgplem  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  M
)

Proof of Theorem mgplem
StepHypRef Expression
1 mgplem.2 . . . 4  |-  E  = Slot 
N
2 mgplem.3 . . . 4  |-  N  e.  NN
31, 2ndxid 13266 . . 3  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
4 mgplem.4 . . . 4  |-  N  =/=  2
51, 2ndxarg 13265 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =  N
6 plusgndx 13339 . . . . 5  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
75, 6neeq12i 2533 . . . 4  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( +g  `  ndx ) 
<->  N  =/=  2 )
84, 7mpbir 200 . . 3  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( +g  `  ndx )
93, 8setsnid 13285 . 2  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
)
10 mgpbas.1 . . . 4  |-  M  =  (mulGrp `  R )
11 eqid 2358 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
1210, 11mgpval 15427 . . 3  |-  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R
) >. )
1312fveq2i 5611 . 2  |-  ( E `
 M )  =  ( E `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( .r `  R ) >. )
)
149, 13eqtr4i 2381 1  |-  ( E `
 R )  =  ( E `  M
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   <.cop 3719   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   NNcn 9836   2c2 9885   ndxcnx 13242   sSet csts 13243  Slot cslot 13244   +g cplusg 13305   .rcmulr 13306  mulGrpcmgp 15424
This theorem is referenced by:  mgpbas  15430  mgpsca  15431  mgptset  15432  mgpds  15434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-nn 9837  df-2 9894  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-sets 13251  df-plusg 13318  df-mgp 15425
  Copyright terms: Public domain W3C validator