MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpplusg Unicode version

Theorem mgpplusg 15329
Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpval.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpval.2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mgpplusg  |-  .x.  =  ( +g  `  M )

Proof of Theorem mgpplusg
StepHypRef Expression
1 mgpval.2 . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2353 . . . 4  |-  .x.  e.  _V
4 plusgid 13243 . . . . 5  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
54setsid 13187 . . . 4  |-  ( ( R  e.  _V  /\  .x. 
e.  _V )  ->  .x.  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
) )
63, 5mpan2 652 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
) )
7 mgpval.1 . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
87, 1mgpval 15328 . . . 4  |-  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , 
.x.  >. )
98fveq2i 5528 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
)
106, 9syl6eqr 2333 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  M ) )
114str0 13184 . . 3  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
12 fvprc 5519 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( .r `  R )  =  (/) )
131, 12syl5eq 2327 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .x.  =  (/) )
14 fvprc 5519 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (mulGrp `  R )  =  (/) )
157, 14syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  M  =  (/) )
1615fveq2d 5529 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  (/) ) )
1711, 13, 163eqtr4a 2341 . 2  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  M
) )
1810, 17pm2.61i 156 1  |-  .x.  =  ( +g  `  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   <.cop 3643   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ndxcnx 13145   sSet csts 13146   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  mulGrpcmgp 15325
This theorem is referenced by:  dfur2  15344  rngcl  15354  crngcom  15355  iscrng2  15356  rngass  15357  rngideu  15358  rngidmlem  15363  isrngid  15366  rngidss  15367  rngpropd  15372  crngpropd  15373  isrngd  15375  iscrngd  15376  prdsmgp  15393  oppr1  15416  unitgrp  15449  unitlinv  15459  unitrinv  15460  rngidpropd  15477  invrpropd  15480  dfrhm2  15498  rhmmul  15505  isrhm2d  15506  isdrng2  15522  drngmcl  15525  drngid2  15528  isdrngd  15537  subrgugrp  15564  issubrg3  15573  cntzsubr  15577  rhmpropd  15580  rlmscaf  15960  sraassa  16065  psrcrng  16157  mplcoe3  16210  mplcoe2  16211  mplbas2  16212  coe1tm  16349  ply1coe  16368  xrsmcmn  16397  cnfldexp  16407  cnmsubglem  16434  expmhm  16449  expghm  16450  cnmpt1mulr  17864  cnmpt2mulr  17865  evlslem1  19399  mpfind  19428  reefgim  19826  amgm  20285  wilthlem2  20307  wilthlem3  20308  dchrelbas3  20477  dchrzrhmul  20485  dchrmulcl  20488  dchrn0  20489  dchrinvcl  20492  dchrptlem2  20504  dchrsum2  20507  sum2dchr  20513  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  iistmd  23286  xrge0iifmhm  23321  xrge0pluscn  23322  psgnghm  27437  rngvcl  27453  mamuvs2  27464  cntzsdrg  27510  isdomn3  27523  mon1psubm  27525  deg1mhm  27526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mgp 15326
  Copyright terms: Public domain W3C validator