MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpplusg Unicode version

Theorem mgpplusg 15345
Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpval.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpval.2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mgpplusg  |-  .x.  =  ( +g  `  M )

Proof of Theorem mgpplusg
StepHypRef Expression
1 mgpval.2 . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2366 . . . 4  |-  .x.  e.  _V
4 plusgid 13259 . . . . 5  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
54setsid 13203 . . . 4  |-  ( ( R  e.  _V  /\  .x. 
e.  _V )  ->  .x.  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
) )
63, 5mpan2 652 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
) )
7 mgpval.1 . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
87, 1mgpval 15344 . . . 4  |-  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , 
.x.  >. )
98fveq2i 5544 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
)
106, 9syl6eqr 2346 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  M ) )
114str0 13200 . . 3  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
12 fvprc 5535 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( .r `  R )  =  (/) )
131, 12syl5eq 2340 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .x.  =  (/) )
14 fvprc 5535 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (mulGrp `  R )  =  (/) )
157, 14syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  M  =  (/) )
1615fveq2d 5545 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  (/) ) )
1711, 13, 163eqtr4a 2354 . 2  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  M
) )
1810, 17pm2.61i 156 1  |-  .x.  =  ( +g  `  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   <.cop 3656   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ndxcnx 13161   sSet csts 13162   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  mulGrpcmgp 15341
This theorem is referenced by:  dfur2  15360  rngcl  15370  crngcom  15371  iscrng2  15372  rngass  15373  rngideu  15374  rngidmlem  15379  isrngid  15382  rngidss  15383  rngpropd  15388  crngpropd  15389  isrngd  15391  iscrngd  15392  prdsmgp  15409  oppr1  15432  unitgrp  15465  unitlinv  15475  unitrinv  15476  rngidpropd  15493  invrpropd  15496  dfrhm2  15514  rhmmul  15521  isrhm2d  15522  isdrng2  15538  drngmcl  15541  drngid2  15544  isdrngd  15553  subrgugrp  15580  issubrg3  15589  cntzsubr  15593  rhmpropd  15596  rlmscaf  15976  sraassa  16081  psrcrng  16173  mplcoe3  16226  mplcoe2  16227  mplbas2  16228  coe1tm  16365  ply1coe  16384  xrsmcmn  16413  cnfldexp  16423  cnmsubglem  16450  expmhm  16465  expghm  16466  cnmpt1mulr  17880  cnmpt2mulr  17881  evlslem1  19415  mpfind  19444  reefgim  19842  amgm  20301  wilthlem2  20323  wilthlem3  20324  dchrelbas3  20493  dchrzrhmul  20501  dchrmulcl  20504  dchrn0  20505  dchrinvcl  20508  dchrptlem2  20520  dchrsum2  20523  sum2dchr  20529  lgseisenlem3  20606  lgseisenlem4  20607  iistmd  23301  xrge0iifmhm  23336  xrge0pluscn  23337  psgnghm  27540  rngvcl  27556  mamuvs2  27567  cntzsdrg  27613  isdomn3  27626  mon1psubm  27628  deg1mhm  27629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mgp 15342
  Copyright terms: Public domain W3C validator