MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpplusg Structured version   Unicode version

Theorem mgpplusg 15652
Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpval.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpval.2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mgpplusg  |-  .x.  =  ( +g  `  M )

Proof of Theorem mgpplusg
StepHypRef Expression
1 mgpval.2 . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2506 . . . 4  |-  .x.  e.  _V
4 plusgid 13564 . . . . 5  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
54setsid 13508 . . . 4  |-  ( ( R  e.  _V  /\  .x. 
e.  _V )  ->  .x.  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
) )
63, 5mpan2 653 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
) )
7 mgpval.1 . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
87, 1mgpval 15651 . . . 4  |-  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , 
.x.  >. )
98fveq2i 5731 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
)
106, 9syl6eqr 2486 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  M ) )
114str0 13505 . . 3  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
12 fvprc 5722 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( .r `  R )  =  (/) )
131, 12syl5eq 2480 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .x.  =  (/) )
14 fvprc 5722 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (mulGrp `  R )  =  (/) )
157, 14syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  M  =  (/) )
1615fveq2d 5732 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  (/) ) )
1711, 13, 163eqtr4a 2494 . 2  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  M
) )
1810, 17pm2.61i 158 1  |-  .x.  =  ( +g  `  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   (/)c0 3628   <.cop 3817   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   ndxcnx 13466   sSet csts 13467   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530  mulGrpcmgp 15648
This theorem is referenced by:  dfur2  15667  rngcl  15677  crngcom  15678  iscrng2  15679  rngass  15680  rngideu  15681  rngidmlem  15686  isrngid  15689  rngidss  15690  rngpropd  15695  crngpropd  15696  isrngd  15698  iscrngd  15699  prdsmgp  15716  oppr1  15739  unitgrp  15772  unitlinv  15782  unitrinv  15783  rngidpropd  15800  invrpropd  15803  dfrhm2  15821  rhmmul  15828  isrhm2d  15829  isdrng2  15845  drngmcl  15848  drngid2  15851  isdrngd  15860  subrgugrp  15887  issubrg3  15896  cntzsubr  15900  rhmpropd  15903  rlmscaf  16279  sraassa  16384  psrcrng  16476  mplcoe3  16529  mplcoe2  16530  mplbas2  16531  coe1tm  16665  ply1coe  16684  xrsmcmn  16724  cnfldexp  16734  cnmsubglem  16761  expmhm  16776  expghm  16777  cnmpt1mulr  18211  cnmpt2mulr  18212  evlslem1  19936  mpfind  19965  reefgim  20366  amgm  20829  wilthlem2  20852  wilthlem3  20853  dchrelbas3  21022  dchrzrhmul  21030  dchrmulcl  21033  dchrn0  21034  dchrinvcl  21037  dchrptlem2  21049  dchrsum2  21052  sum2dchr  21058  lgseisenlem3  21135  lgseisenlem4  21136  rdivmuldivd  24227  rnginvval  24228  dvrcan5  24229  rhmunitinv  24260  iistmd  24300  xrge0iifmhm  24325  xrge0pluscn  24326  psgnghm  27414  rngvcl  27430  mamuvs2  27441  cntzsdrg  27487  isdomn3  27500  mon1psubm  27502  deg1mhm  27503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mgp 15649
  Copyright terms: Public domain W3C validator