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Theorem mhmeql 14766
Description: The equalizer of two monoid homomorphisms is a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmeql  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  (SubMnd `  S )
)

Proof of Theorem mhmeql
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
31, 2mhmf 14745 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
43adantr 453 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
5 ffn 5593 . . . 4  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
71, 2mhmf 14745 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( S MndHom  T
)  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
87adantl 454 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
9 ffn 5593 . . . 4  |-  ( G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  G  Fn  ( Base `  S )
)
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  G  Fn  ( Base `  S )
)
11 fndmin 5839 . . 3  |-  ( ( F  Fn  ( Base `  S )  /\  G  Fn  ( Base `  S
) )  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } )
126, 10, 11syl2anc 644 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
13 ssrab2 3430 . . . 4  |-  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  C_  ( Base `  S )
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  C_  ( Base `  S ) )
15 mhmrcl1 14743 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  S  e.  Mnd )
1615adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  S  e.  Mnd )
17 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
181, 17mndidcl 14716 . . . . 5  |-  ( S  e.  Mnd  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
1916, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( 0g `  S )  e.  (
Base `  S )
)
20 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
2117, 20mhm0 14748 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
2221adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
2317, 20mhm0 14748 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( G `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
2423adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( G `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
2522, 24eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( G `  ( 0g
`  S ) ) )
26 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
27 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  ( 0g `  S ) ) )
2826, 27eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( G `  ( 0g
`  S ) ) ) )
2928elrab 3094 . . . 4  |-  ( ( 0g `  S )  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  <->  ( ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( G `  ( 0g
`  S ) ) ) )
3019, 25, 29sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( 0g `  S )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
3116ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  S  e.  Mnd )
32 simplrl 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  S )
)
33 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  y  e.  (
Base `  S )
)
34 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
351, 34mndcl 14697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
3631, 32, 33, 35syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
37 simplll 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  F  e.  ( S MndHom  T ) )
38 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
391, 34, 38mhmlin 14747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) ) )
4037, 32, 33, 39syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) ) )
41 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  G  e.  ( S MndHom  T ) )
421, 34, 38mhmlin 14747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  ( S MndHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( G `  x ) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )
4341, 32, 33, 42syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( G `  x ) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )
44 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
45 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) )
4644, 45oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( +g  `  T ) ( F `  y
) )  =  ( ( G `  x
) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )
4743, 46eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) ) )
4840, 47eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( G `
 ( x ( +g  `  S ) y ) ) )
49 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) ) )
50 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) ) )
5149, 50eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( G `
 ( x ( +g  `  S ) y ) ) ) )
5251elrab 3094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( +g  `  S
) y )  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  <->  ( ( x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( G `
 ( x ( +g  `  S ) y ) ) ) )
5336, 48, 52sylanbrc 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
5453expr 600 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 y )  -> 
( x ( +g  `  S ) y )  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } ) )
5554ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( F `  y )  =  ( G `  y )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
56 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
57 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( G `  z )  =  ( G `  y ) )
5856, 57eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
5958ralrab 3098 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  ( x ( +g  `  S
) y )  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( F `  y )  =  ( G `  y )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
6055, 59sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  A. y  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  (
x ( +g  `  S
) y )  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
6160expr 600 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  ->  A. y  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  ( x ( +g  `  S
) y )  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
6261ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
)  ->  A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
63 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
64 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( G `  z )  =  ( G `  x ) )
6563, 64eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
6665ralrab 3098 . . . 4  |-  ( A. x  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  <->  A. x  e.  ( Base `  S
) ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
)  ->  A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
6762, 66sylibr 205 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  A. x  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } A. y  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
681, 17, 34issubm 14750 . . . 4  |-  ( S  e.  Mnd  ->  ( { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  e.  (SubMnd `  S )  <->  ( {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  C_  ( Base `  S )  /\  ( 0g `  S
)  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  /\  A. x  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) ) )
6916, 68syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  e.  (SubMnd `  S )  <->  ( {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  C_  ( Base `  S )  /\  ( 0g `  S
)  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  /\  A. x  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) ) )
7014, 30, 67, 69mpbir3and 1138 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  e.  (SubMnd `  S ) )
7112, 70eqeltrd 2512 1  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  (SubMnd `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    i^i cin 3321    C_ wss 3322   dom cdm 4880    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725   Mndcmnd 14686   MndHom cmhm 14738  SubMndcsubmnd 14739
This theorem is referenced by:  ghmeql  15030  rhmeql  15900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-map 7022  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741
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