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Theorem mhmeql 14457
Description: The equalizer of two monoid homomorphisms is a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmeql  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  (SubMnd `  S )
)

Proof of Theorem mhmeql
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
31, 2mhmf 14436 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
43adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
5 ffn 5405 . . . 4  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
71, 2mhmf 14436 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( S MndHom  T
)  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
87adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
9 ffn 5405 . . . 4  |-  ( G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  G  Fn  ( Base `  S )
)
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  G  Fn  ( Base `  S )
)
11 fndmin 5648 . . 3  |-  ( ( F  Fn  ( Base `  S )  /\  G  Fn  ( Base `  S
) )  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } )
126, 10, 11syl2anc 642 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
13 ssrab2 3271 . . . 4  |-  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  C_  ( Base `  S )
1413a1i 10 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  C_  ( Base `  S ) )
15 mhmrcl1 14434 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  S  e.  Mnd )
1615adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  S  e.  Mnd )
17 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
181, 17mndidcl 14407 . . . . 5  |-  ( S  e.  Mnd  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
1916, 18syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( 0g `  S )  e.  (
Base `  S )
)
20 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
2117, 20mhm0 14439 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
2221adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
2317, 20mhm0 14439 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( G `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
2423adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( G `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
2522, 24eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( G `  ( 0g
`  S ) ) )
26 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
27 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  ( 0g `  S ) ) )
2826, 27eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( G `  ( 0g
`  S ) ) ) )
2928elrab 2936 . . . 4  |-  ( ( 0g `  S )  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  <->  ( ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( G `  ( 0g
`  S ) ) ) )
3019, 25, 29sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( 0g `  S )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
3116ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  S  e.  Mnd )
32 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  S )
)
33 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  y  e.  (
Base `  S )
)
34 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
351, 34mndcl 14388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
3631, 32, 33, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
37 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  F  e.  ( S MndHom  T ) )
38 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
391, 34, 38mhmlin 14438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) ) )
4037, 32, 33, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) ) )
41 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  G  e.  ( S MndHom  T ) )
421, 34, 38mhmlin 14438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  ( S MndHom  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( G `  x ) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )
4341, 32, 33, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( G `  x ) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )
44 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
45 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) )
4644, 45oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( +g  `  T ) ( F `  y
) )  =  ( ( G `  x
) ( +g  `  T
) ( G `  y ) ) )
4743, 46eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  T
) ( F `  y ) ) )
4840, 47eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( G `
 ( x ( +g  `  S ) y ) ) )
49 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) ) )
50 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  ( x ( +g  `  S ) y ) ) )
5149, 50eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x ( +g  `  S ) y )  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( G `
 ( x ( +g  `  S ) y ) ) ) )
5251elrab 2936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( +g  `  S
) y )  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  <->  ( ( x ( +g  `  S
) y )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  S ) y ) )  =  ( G `
 ( x ( +g  `  S ) y ) ) ) )
5336, 48, 52sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  (
y  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
5453expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( G `
 y )  -> 
( x ( +g  `  S ) y )  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } ) )
5554ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( F `  y )  =  ( G `  y )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
56 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
57 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( G `  z )  =  ( G `  y ) )
5856, 57eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  y )  =  ( G `  y ) ) )
5958ralrab 2940 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  ( x ( +g  `  S
) y )  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( F `  y )  =  ( G `  y )  ->  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
6055, 59sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  A. y  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  (
x ( +g  `  S
) y )  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
6160expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  ->  A. y  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  ( x ( +g  `  S
) y )  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
6261ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
)  ->  A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
63 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
64 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( G `  z )  =  ( G `  x ) )
6563, 64eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  z
)  =  ( G `
 z )  <->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
6665ralrab 2940 . . . 4  |-  ( A. x  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  <->  A. x  e.  ( Base `  S
) ( ( F `
 x )  =  ( G `  x
)  ->  A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) )
6762, 66sylibr 203 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  A. x  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } A. y  e. 
{ z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } )
681, 17, 34issubm 14441 . . . 4  |-  ( S  e.  Mnd  ->  ( { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  e.  (SubMnd `  S )  <->  ( {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  C_  ( Base `  S )  /\  ( 0g `  S
)  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  /\  A. x  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) ) )
6916, 68syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  ( {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  e.  (SubMnd `  S )  <->  ( {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  C_  ( Base `  S )  /\  ( 0g `  S
)  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  /\  A. x  e.  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) } A. y  e.  { z  e.  (
Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) }  ( x ( +g  `  S ) y )  e.  {
z  e.  ( Base `  S )  |  ( F `  z )  =  ( G `  z ) } ) ) )
7014, 30, 67, 69mpbir3and 1135 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  { z  e.  ( Base `  S
)  |  ( F `
 z )  =  ( G `  z
) }  e.  (SubMnd `  S ) )
7112, 70eqeltrd 2370 1  |-  ( ( F  e.  ( S MndHom  T )  /\  G  e.  ( S MndHom  T ) )  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  (SubMnd `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377   MndHom cmhm 14429  SubMndcsubmnd 14430
This theorem is referenced by:  ghmeql  14721  rhmeql  15591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-map 6790  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432
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