Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmeql Structured version   Unicode version

Theorem mhmeql 14766
 Description: The equalizer of two monoid homomorphisms is a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmeql MndHom MndHom SubMnd

Proof of Theorem mhmeql
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . 6
2 eqid 2438 . . . . . 6
31, 2mhmf 14745 . . . . 5 MndHom
43adantr 453 . . . 4 MndHom MndHom
5 ffn 5593 . . . 4
64, 5syl 16 . . 3 MndHom MndHom
71, 2mhmf 14745 . . . . 5 MndHom
87adantl 454 . . . 4 MndHom MndHom
9 ffn 5593 . . . 4
108, 9syl 16 . . 3 MndHom MndHom
11 fndmin 5839 . . 3
126, 10, 11syl2anc 644 . 2 MndHom MndHom
13 ssrab2 3430 . . . 4
1413a1i 11 . . 3 MndHom MndHom
15 mhmrcl1 14743 . . . . . 6 MndHom
1615adantr 453 . . . . 5 MndHom MndHom
17 eqid 2438 . . . . . 6
181, 17mndidcl 14716 . . . . 5
1916, 18syl 16 . . . 4 MndHom MndHom
20 eqid 2438 . . . . . . 7
2117, 20mhm0 14748 . . . . . 6 MndHom
2221adantr 453 . . . . 5 MndHom MndHom
2317, 20mhm0 14748 . . . . . 6 MndHom
2423adantl 454 . . . . 5 MndHom MndHom
2522, 24eqtr4d 2473 . . . 4 MndHom MndHom
26 fveq2 5730 . . . . . 6
27 fveq2 5730 . . . . . 6
2826, 27eqeq12d 2452 . . . . 5
2928elrab 3094 . . . 4
3019, 25, 29sylanbrc 647 . . 3 MndHom MndHom
3116ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 MndHom MndHom
32 simplrl 738 . . . . . . . . . . 11 MndHom MndHom
33 simprl 734 . . . . . . . . . . 11 MndHom MndHom
34 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
351, 34mndcl 14697 . . . . . . . . . . 11
3631, 32, 33, 35syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10 MndHom MndHom
37 simplll 736 . . . . . . . . . . . 12 MndHom MndHom MndHom
38 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13
391, 34, 38mhmlin 14747 . . . . . . . . . . . 12 MndHom
4037, 32, 33, 39syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11 MndHom MndHom
41 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . 13 MndHom MndHom MndHom
421, 34, 38mhmlin 14747 . . . . . . . . . . . . 13 MndHom
4341, 32, 33, 42syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12 MndHom MndHom
44 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . 13 MndHom MndHom
45 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13 MndHom MndHom
4644, 45oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12 MndHom MndHom
4743, 46eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11 MndHom MndHom
4840, 47eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10 MndHom MndHom
49 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
50 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11
5251elrab 3094 . . . . . . . . . 10
5336, 48, 52sylanbrc 647 . . . . . . . . 9 MndHom MndHom
5453expr 600 . . . . . . . 8 MndHom MndHom
5554ralrimiva 2791 . . . . . . 7 MndHom MndHom
56 fveq2 5730 . . . . . . . . 9
57 fveq2 5730 . . . . . . . . 9
5856, 57eqeq12d 2452 . . . . . . . 8
5958ralrab 3098 . . . . . . 7
6055, 59sylibr 205 . . . . . 6 MndHom MndHom
6160expr 600 . . . . 5 MndHom MndHom
6261ralrimiva 2791 . . . 4 MndHom MndHom
63 fveq2 5730 . . . . . 6
64 fveq2 5730 . . . . . 6
6563, 64eqeq12d 2452 . . . . 5
6665ralrab 3098 . . . 4
6762, 66sylibr 205 . . 3 MndHom MndHom
681, 17, 34issubm 14750 . . . 4 SubMnd
6916, 68syl 16 . . 3 MndHom MndHom SubMnd
7014, 30, 67, 69mpbir3and 1138 . 2 MndHom MndHom SubMnd
7112, 70eqeltrd 2512 1 MndHom MndHom SubMnd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  crab 2711   cin 3321   wss 3322   cdm 4880   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  c0g 13725  cmnd 14686   MndHom cmhm 14738  SubMndcsubmnd 14739 This theorem is referenced by:  ghmeql  15030  rhmeql  15900 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-map 7022  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741
 Copyright terms: Public domain W3C validator